Поворот шарика серией ударов

Сначала докажем, что если шарик поворачивает на угол \(\alpha\), меньший \(180^\circ\), за два удара, то при заданной начальной скорости его конечная скорость будет максимальной в том случае, если при каждом ударе он поворачивал на угол, равный \(\alpha/2\).

Пусть до первого удара первый шарик двигался со скоростью \(v\). Тогда после этого удара первый шарик будет двигаться с некоторой скоростью \(v_1\), направленной под углом \(\varphi\) к направлению первоначального движения, а второй шарик, который до удара покоился, будет двигаться со скоростью \(v_2\), направленной под углом \(\psi\) к направлению первоначального движения первого шарика. Тогда из закона сохранения импульса для абсолютно упругого удара движущегося шарика о неподвижный шарик имеем: \[mv = mv_1\cos\varphi + mv_2\cos\psi,\quad mv_1\sin\varphi = mv_2\sin\psi,\] причём \(\varphi + \psi = \pi/2\), так как после абсолютно упругого нелобового удара движущегося шарика о такой же покоящийся скорости разлетающихся шаров, как уже отмечалось выше в решении задачи 1.109, направлены под углом \(90^\circ\) друг к другу.

Отсюда находим скорость первого шара после удара: \(v_1 = v\cos\varphi\). Это означает, что поворот вектора скорости налетающего шара на угол \(\varphi\) сопровождается уменьшением величины скорости в \(\cos\varphi\) раз. Значит, после двух последовательных соударений скорость налетающего шарика будет равна \(u^{(2)} = v\cos\varphi\cdot\cos(\alpha - \varphi)\) (напомним, что шарик поворачивает за два удара на угол \(\alpha\)). Для того, чтобы скорость шарика \(u^{(2)}\) после двух ударов была максимальна, необходимо, чтобы было максимальным произведение \(\cos\varphi\cdot\cos(\alpha - \varphi)\). По известной формуле: \[u^{(2)} = v\cos\varphi\cos(\alpha - \varphi) = \dfrac{v}{2}\left(\cos(\alpha - 2\varphi) + \cos\alpha\right).\] Ясно, что это выражение будет иметь максимальное значение при \(\cos(\alpha - 2\varphi) = 1\), откуда \(\varphi = \alpha/2\), что и требовалось доказать.

Рассматривая таким же способом каждую пару последовательных ударов, приходим к выводу, что для максимализации конечной скорости при каждом ударе налетающий шар должен поворачивать на один и тот же угол \(\varphi\). Так как по условию после \(N - 1 = 100\) соударений этот шар начинает двигаться в противоположном направлении, то \[\varphi = \dfrac{\pi}{N - 1} = \dfrac{\pi}{100}.\] После сотого соударения шар будет иметь скорость \[u^{(100)} = v(\cos\varphi)^{N-1} = v\left(\sqrt{1 - \sin^2\varphi}\right)^{N-1}.\] Учитывая, что при \(x \ll 1\) и \(nx \ll 1\) справедливы приближённые формулы: \(\sin x \approx x\) и \((1 + x)^n \approx 1 + nx\), окончательно получаем: \[u^{(100)}_{\max} = v\left(\sqrt{1 - \sin^2\varphi}\right)^{N-1} \approx v\left(\sqrt{1 - \varphi^2}\right)^{N-1} \approx v\left(1 - \dfrac{N - 1}{2}\varphi^2\right) =\] \[= v\left(1 - \dfrac{\pi^2}{2(N - 1)}\right) = v\left(1 - \dfrac{\pi^2}{200}\right) \approx 0{,}95v.\]