Согнуть кочергу

Кочерга начинает гнуться тогда, когда напряжение в её материале превышает предел упругости \(\sigma\). При этом слои, находящиеся на внешней стороне дуги изгибаемой кочерги, растягиваются, а находящиеся на внутренней стороне дуги — сжимаются. Для оценки момента сил, который надо приложить, чтобы кочерга согнулась, можно считать, что на верхнюю половину сечения кочерги действует растягивающее усилие \(f = \sigma\cdot a\cdot\dfrac{a}{2}\), а на нижнюю половину — такое же сжимающее усилие (см. рис. 1.200).

Тогда момент сил равен: \(M = \dfrac{\sigma a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{2} = \dfrac{\sigma a^3}{4}\).

Более точная оценка для момента силы получается при учёте линейного закона изменения напряжения по сечению кочерги: \(M_{\text{т}} = \int\limits_{-a/2}^{a/2}x\cdot\sigma(x)\,dS\), где \(\sigma(x) = \dfrac{2x}{a}\sigma\) и \(dS = a\,dx\), откуда получается, что \(M_{\text{т}} = 2\sigma\int\limits_{-a/2}^{a/2}x^2\,dx = \dfrac{\sigma a^3}{6}\). Таким образом, обе полученные оценки близки.

Получим теперь оценку для силы. Заметим, что кочергу можно гнуть двумя способами. Первый способ — упираться коленом в середину кочерги, а за её концы тянуть руками с силой \(F\). Тогда изгибающий момент будет равен \(M = Fl/2\), откуда \[F = \dfrac{2M}{l} = \dfrac{2}{l}\cdot\dfrac{\sigma a^3}{4(6)} = \dfrac{\sigma a^3}{2(3)\,l} = 150\ (100)\text{ Н}.\] (Цифры в скобках здесь и далее соответствуют более точной оценке момента сил \(M_{\text{т}}\)). Это не очень большое усилие!

Второй, более «честный» способ изгибания кочерги: создавать моменты сил ладонями рук, ничем, кроме них, не упираясь в кочергу. Считая, что ширина ладони равна \(L \approx 10\) см, получаем: \(M \cong F_1L\), и \[F_1 = \dfrac{M}{L} = \dfrac{\sigma a^3}{4(6)\,L} = 750\ (500)\text{ Н}.\] Такое усилие создать пальцами рук достаточно трудно!