Заряженная шайба на наклонной плоскости

Сумма трёх сил (проекция силы тяжести, трение, сила Кулона) равна нулю. Силы трения образуют окружность возможных векторов; максимальный угол соответствует касанию этой окружности вектором силы Кулона.

\(\beta\le\arcsin(\mu\operatorname{ctg}\alpha)\).

10-4. Заметим, что искомый угол \(\beta\) – это угол между прямыми, которым принадлежат вектор \(\vec{F}_k\) (силы Кулона) и проекция \(m\vec{g}\) на наклонную плоскость.

Допустим, шайба находится в состоянии равновесия. Сумма сил, действующих на нее при этом, должна быть равна нулю. Для построения треугольника поступим следующим образом. Отложим постоянную компоненту \(mg \sin \alpha\) первой, так как она не меняется при любых положениях шайбы. Теперь от конца вектора \(mg \sin \alpha\) мы должны отложить вектор силы трения. Подчеркнем, что значение \(\vert \vec{F}_{\text{тр}}\vert = \mu mg \cos \alpha\), а направление его может быть любым, то есть множество концов всевозможных векторов \(\vec{F}_{\text{тр}}\) образуют окружность. Вектор \(\vec{F}_k\) должен замкнуть треугольник сил (иначе силы не уравновесят друг друга). Мысленно вращая \(\vec{F}_{\text{тр}}\), видим, что максимальный угол реализуется в случае касания \(\vec{F}_k\) окружности сил трения (в точке C), то есть

\[\sin \beta = \frac{\mu mg \cos \alpha}{mg \sin \alpha} = \mu \operatorname{ctg} \alpha ,\]

следовательно,

\[\beta \leq \arcsin (\mu \operatorname{ctg} \alpha) .\]

Пользуясь изложенным подходом, можете попробовать определить вид области “покоя” шайбы на наклонной плоскости. (На границе области \(\vec{F}_{k}\) будет направлен вдоль проекции силы тяжести на наклонную плоскость).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.