Совпадающие теплоемкости

Выразите теплоёмкость через \(dU\) и \(p\,dV\) и сравните, как меняется объём при одинаковой температуре в двух процессах.

Из первого начала термодинамики для теплоёмкости имеем \(C = \dfrac{dQ}{dT} = \dfrac{dU}{dT} + \dfrac{p\,dV}{dT}\). Так как \(U = vC_VT\) и \(p = vRT/V\), то \[C = vC_V + \frac{vRT}{V}\frac{dV}{dT}.\] Пусть \(V_1(T)\) и \(V_2(T)\) — объёмы при температуре \(T\) для первого и второго процессов. Из совпадения теплоёмкостей следует \(\dfrac{dV_2}{V_2} = \dfrac{dV_1}{V_1}\) при одинаковых \(T\) и \(dT\). Значит, \(V_2(T) = kV_1(T)\), где \(k\) — константа. При одинаковой температуре \(p_2V_2 = p_1V_1\), поэтому \(p_2/p_1 = 1/k\).

В точке \(A\) произведение \(p_AV_A = 16\) (условных единиц: клетка по горизонтали – единица объёма, по вертикали – единица давления). При той же температуре для первого процесса \(p_1V_1 = 16\), а его график — прямая \(p_1 = 6 + V_1\). Отсюда \((6 + V_1)V_1 = 16\), положительный корень \(V_1 = 2\) и \(k = V_A/V_1 = 2\).

Наклон второго графика \(dp_2/dV_2 = (dp_1/dV_1)\,k^{-2} = 0{,}25\) постоянен, и через точку \(A\) проходит прямая \(p_2 = 3 + V_2/4\). Вне уцелевшего отрезка процесс однозначно не восстанавливается, поэтому график второго процесса определён в пределах, отвечающих концам отрезка первого: \(V_1 = 1\) (\(p_1 = 7\)) и \(V_1 = 8\) (\(p_1 = 14\)). По \(k = 2\) получаем начало \(V_2 = 2\), \(p_2 = 3{,}5\) и конец \(V_2 = 16\), \(p_2 = 7\).