Обруч

Двигаясь из состояния покоя, центр обруча начинает набирать скорость. Пусть в некоторый момент времени она равна \(v\). Для нахождения \(v\) применим закон изменения энергии: \[mgR(1 - \cos\alpha) = \frac{mv_m^2}{2}, \tag{35}\] где \(\alpha\) — угол, на который к рассматриваемому моменту повернётся обруч, а \(v_m\) — скорость, которую приобретёт груз. По закону сложения скоростей \[\vec v_m = \vec v_{mo} + \vec v,\] где \(\vec v\) — скорость центра обруча \(O\), а \(\vec v_{mo}\) — скорость груза относительно \(O\) (см. рисунок).

В отсутствие проскальзывания модуль скорости \(v_{mo}\) равен модулю скорости \(v\) и равен произведению угловой скорости \(\omega\) на радиус обруча: \[v_{mo} = v = \omega R. \tag{36}\] Поэтому из векторного треугольника скоростей (см. рисунок) следует, что \[v_m^2 = 2v^2(1 + \cos\alpha).\] Подставляем соотношение (36) и это выражение в формулу (35): \[v = \sqrt{gR}\operatorname{tg}\left(\frac\alpha2\right) \qquad\text{и}\qquad \omega = \sqrt{\frac gR}\operatorname{tg}\left(\frac\alpha2\right). \tag{37}\]

При каком же угле \(\alpha\) возможно проскальзывание? Для ответа на этот вопрос нужно сравнить силу трения \(\vec F\) с максимальной силой трения покоя, равной \(\mu N\), где \(\vec N\) — сила реакции (см. рисунок). Обруч катится без проскальзывания, пока \(F \leqslant \mu N\). Применим к обручу с грузом закон изменения импульса в проекциях на оси \(x\) и \(y\) (см. рисунок): \[\frac{d\bigl(mv(1 + \cos\alpha)\bigr)}{dt} = F \leqslant \mu N, \tag{38}\] \[\frac{d(-mv\sin\alpha)}{dt} = -mg + N. \tag{39}\] Выполним дифференцирование в левой части уравнений (38) и (39), используя полученные ранее выражения (36) и (37), а также не забывая, что \(\omega = d\alpha/dt\). Получаются простые соотношения: \[mg\cos\alpha\operatorname{tg}\left(\frac\alpha2\right) \leqslant \mu N, \tag{40}\] \[N = mg\cos\alpha. \tag{41}\] Проанализируем их. Возможны две ситуации, при которых обруч перестанет катиться без проскальзывания. Во-первых, может обратиться в нуль сила реакции \(N\), то есть обруч оторвётся от поверхности. Это случится, как видно из равенства (41), при \(\alpha = \pi/2\). Тогда из соотношений (37) получим \(v = v_{\max} = \sqrt{gR}\).

Во-вторых, обруч может начать скользить по поверхности. Тогда \(N \neq 0\) и (40) становится равенством \[\mu = \operatorname{tg}\left(\frac\alpha2\right),\] а из соотношений (37) получаем \(v = v_{\max} = \mu\sqrt{gR}\). Коэффициент трения \(\mu\) обычно меньше \(1\). Поэтому реализуется обычно вторая ситуация.