Маятник Максвелла

На рисунках изображён маятник Максвелла перед и при прохождении нижней точки своей траектории. В силу условия \(r \ll H\) можно пренебречь отклонением нити от вертикали и изменением потенциальной энергии маятника между указанными состояниями, то есть далее будем считать, что ось \(O\) маятника движется с некоторой постоянной по модулю скоростью \(v\) по окружности радиусом \(r\) с центром в точке \(B\).

Пусть \(\omega\) — угловая скорость вращения маятника, \(u\) — скорость точек обода маховика относительно его оси, тогда из уравнения кинематической связи \[\frac vr = \omega = \frac uR\] находим \[v = u\cdot\frac rR. \tag{42}\] Из условия \(r \ll R\) следует, что \(v \ll u\), поэтому можно пренебречь кинетической энергией поступательного движения центра масс маятника по сравнению с кинетической энергией вращательного движения маховика относительно центра масс и записать закон сохранения энергии в виде \[mgH = \frac{mu^2}{2},\] откуда \[u^2 = 2gH. \tag{43}\] Используя уравнения (42) и (43) совместно, выражаем \[v^2 = 2gH\cdot\frac{r^2}{R^2}. \tag{44}\] Согласно второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось при прохождении маятником нижней точки окружности имеем \[m\cdot\frac{v^2}{r} = F - mg,\] откуда с учётом уравнения (44) находим искомую силу: \[F = mg\left(1 + \frac{2rH}{R^2}\right).\]

Примечание. Раскрутившись при опускании, маховик продолжает вращение по инерции, наматывая нить на стержень и поднимаясь за счёт этого. Такие периодические перемещения вниз и вверх могут продолжаться достаточно долго, оправдывая название устройства — маятник Максвелла.