Световой зайчик

Если бы скорость света была бесконечно большой, то человек видел бы световое пятно в том месте, где луч фонарика пересекает стену. Из-за конечности скорости распространения света человек увидит в этом месте зайчик спустя некоторое время. В этот момент луч фонарика будет уже направлен в иную точку.

Найдём скорость зайчика с точки зрения наблюдателя: \[v = \frac{dx}{dt_1}, \tag{242}\] где \(v\) — проекция на ось \(x\) скорости зайчика (см. левый рисунок), который наблюдатель видит в момент времени \(t_1\). Луч фонарика был направлен в эту точку в момент времени \(t\). Время \(t_1\) больше \(t\) на величину, необходимую свету для прохождения от \(A\) к \(B\) и обратно (см. левый рисунок): \[t_1 = t + \frac{2h}{c\cdot\cos\omega t}. \tag{243}\] Поскольку переменные \(t_1\) и \(t\) связаны соотношением (243), целесообразно представить уравнение (242) в виде \[v = \frac{dx}{dt}\frac{dt}{dt_1} = \frac{dx}{dt}\left(\frac{dt_1}{dt}\right)^{-1}. \tag{244}\] Из левого рисунка видно, что \[x = h\operatorname{tg}\omega t. \tag{245}\] Продифференцировав функции (243) и (245), найдём производные, входящие в уравнение (244), и после их подстановки получим \[v = \frac{c\omega h}{c\cdot\cos^2\omega t + 2\omega h\sin\omega t}. \tag{246}\] Формулы (245), (246) и (243) содержат ответы на поставленные в задаче вопросы. Проанализируем полученные соотношения.

Изобразим приблизительный график зависимости (243) (см. правый рисунок выше). Величина \(t_1\) имеет минимальное значение \(t_2\) в точке \(t_m\), для нахождения которой следует приравнять к нулю производную функции \(t_1(t)\): \[\sin\omega t_m = \frac{\omega h}{c} - \sqrt{1 + \left(\frac{\omega h}{c}\right)^2}. \tag{247}\] По формуле (245) можно найти координату зайчика \(x_m\) в момент времени \(t_2\): \[x_m = -\frac{h}{\sqrt2}\sqrt{\sqrt{\left(\frac{c}{\omega h}\right)^2 + 1} - 1}. \tag{248}\] При подстановке выражения (247) в формулу (246) обнаруживаем, что функция \(v(t)\) испытывает разрыв в точке \(t_m\), меняя знак. Поведение функции \(v(t)\) качественно представлено графиком, изображённым на левом из следующих двух рисунков. Сплошными линиями показан график при \(\omega h < c/2\), пунктирными — при \(\omega h > c/2\). Сопоставляя величины \(v\) и \(t_1\) при одинаковых значениях параметра \(t\), можно нарисовать и приближённый график зависимости наблюдаемой скорости зайчика \(v(t_1)\) (правый из следующих двух рисунков).

О каком движении светового зайчика говорят эти графики? Раньше всего наблюдатель увидит зайчик, находящийся в точке \(x_m\) в момент времени \(t_2\). В последующие моменты времени \(t_1 = t_3 > t_2\) наблюдатель увидит два зайчика, координаты которых соответствуют точкам \(a\) и \(b\) на графике \(t_1(t)\). Скорости этих зайчиков направлены в противоположные стороны. При \(t_1 \to \infty\) проекция скорости одного стремится к \(c/2\), а другого — к \(-c/2\). После следующего прохождения вращающегося луча фонарика через точку \(x_m\) появится ещё одна пара разбегающихся зайчиков и так далее.

Не является ли обнаруженное здесь парадоксальное свойство световых зайчиков результатом ошибки данной теоретической модели? Одним из тестов на ошибочность новых физических теорий служит принцип соответствия. Согласно этому принципу новая теория в предельных частных случаях даёт те же результаты, что и верная старая теория. Релятивистская физика даёт немало парадоксальных результатов, противоречащих «здравому смыслу». Однако она успешно выдерживает испытание принципом соответствия. Испытаем этим принципом результаты данной задачи. Посмотрим, что дают полученные формулы при \(c \to \infty\). Из уравнения (242) следует, что \(t_1 = t\), то есть наблюдатель видит зайчик в точке \(x\) в тот же момент времени, в который через эту точку проходит луч фонарика. Из формулы (246) следует, что \(v = \omega h/\cos^2\omega t\). Это естественно согласуется с формулой (245), и в этом случае не возникает никаких пар зайчиков. Таким образом, полученные в задаче результаты согласуются с принципом соответствия.