Явление Лейденфроста

Пар вытекает из-под капли через цилиндрическую поверхность радиуса \(r\) — его расход определяется профилем скорости в слое; а количество пара, рождающегося внутри этого цилиндра, равно потоку тепла снизу, делённому на \(\ell\).

3.1) \(v=\dfrac{z^2}{2\eta}P'+C\);  3.2) \(C=-\dfrac{b^2}{8\eta}P'\);  3.3) \(Q=-\dfrac{\pi rb^3}{6\eta}\,\dfrac{dP}{dr}\);  3.4) \(P(r)=P_{\mathrm a}+\dfrac{3\eta \mathcal K\Delta T}{\rho_V\ell b^4}\,(R^2-r^2)\);  3.5) \(b=\Bigl(\dfrac{9\eta \mathcal KR\,\Delta T}{4\rho_0\rho_V\ell g}\Bigr)^{1/4}\);  3.6) \(\dfrac{dm}{dt}=\beta R^{7/4}\), \(\beta=\Bigl(\dfrac{4\pi^4\mathcal K^3\rho_V\rho_0g\,(\Delta T)^3}{9\eta\ell^3}\Bigr)^{1/4}\);  3.7) \(\tau=\dfrac{8\pi\rho_0}{5\beta}\,R^{5/4}=\dfrac85\Bigl(\dfrac{9\eta\rho_0^3\ell^3}{4\mathcal K^3\rho_Vg\,(\Delta T)^3}\Bigr)^{1/4}R^{5/4}\).

Что происходит. Капля парит на тонком слое пара. Пар непрерывно рождается за счёт тепла, проходящего снизу сквозь слой толщины \(b\), и вытекает из-под капли наружу; чтобы его гнать по узкой щели, давление в центре должно быть выше, чем у края. Разность давлений снизу и сверху капли удерживает её против веса — отсюда толщина слоя \(b\). Затем расход пара и есть скорость испарения капли, и из её уменьшения находится время жизни. Ключевое приближение — смазочное: слой тонкий (\(b\ll R\)), давление по толщине слоя не меняется, течение ламинарно, и скорость зависит от \(z\) по параболе.

Обозначения. Ось \(z\) — по вертикали от средней плоскости слоя (рис. 2), \(r\) — расстояние от оси симметрии капли, \(P'\equiv dP/dr\). Давление пара \(P(r)\) зависит только от \(r\) (слой тонкий). \(m\) — масса капли, \(m=\tfrac23\pi R^3\rho_0\), \(\rho_0\) — плотность жидкости, \(\rho_V\) — плотность пара. На краю капли \(r=R\) давление пара равно атмосферному: \(P(R)=P_{\mathrm a}\).

3.1) Интегрируем заданное соотношение \(\dfrac{dv}{dz}=\dfrac{z}{\eta}P'\) по \(z\) (величина \(P'\) от \(z\) не зависит): \[\boxed{\,v(z)=\frac{z^2}{2\eta}\,\frac{dP}{dr}+C\,}\] 3.2) Пар прилипает к границам слоя: \(v=0\) при \(z=\pm b/2\) (рис. 3). Подставляем \(z=b/2\): \[0=\frac{b^2}{8\eta}P'+C\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,C=-\frac{b^2}{8\eta}\,\frac{dP}{dr}\,}\] Обратите внимание: \(C\) не постоянная в обычном смысле, а функция \(r\) — через \(P'(r)\). Скорость \[v(z)=\frac{P'}{2\eta}\Bigl(z^2-\frac{b^2}{4}\Bigr)\] положительна (течение наружу) при \(|z|<b/2\), потому что \(P'<0\): давление падает к краю.

Рис. 3. Профиль скорости пара в слое (толщина \(b\) увеличена): парабола с максимумом на средней плоскости и нулём на стенках \(z=\pm b/2\).

3.3) Через цилиндрическую поверхность радиуса \(r\) и высоты \(b\) пар вытекает со скоростью \(v(z)\) (рис. 4). Площадка высотой \(dz\) на цилиндре имеет площадь \(2\pi r\,dz\), объём, проходящий за единицу времени, равен \(v\cdot2\pi r\,dz\). Профиль чётный по \(z\), поэтому интегрируем от \(0\) до \(b/2\) и удваиваем: \[Q=2\int_0^{b/2}v(z)\,2\pi r\,dz=\frac{2\pi rP'}{\eta}\int_0^{b/2}\Bigl(z^2-\frac{b^2}{4}\Bigr)dz=\frac{2\pi rP'}{\eta}\Bigl(\frac{b^3}{24}-\frac{b^3}{8}\Bigr)=\boxed{\,-\frac{\pi rb^3}{6\eta}\,\frac{dP}{dr}\,}\] (положительно, так как \(P'<0\)).

Рис. 4. Контрольный цилиндр радиуса \(r\) под каплей: тепло идёт снизу вверх через площадь \(\pi r^2\) и расходуется на испарение; образовавшийся пар вытекает через боковую поверхность \(2\pi rb\).

3.4) Тепло от горячей поверхности к капле проходит сквозь слой пара толщины \(b\) путём теплопроводности: поток на единицу площади равен \(\mathcal K\Delta T/b\). Через площадь \(\pi r^2\) под цилиндром радиуса \(r\) в единицу времени поступает \(\pi r^2\mathcal K\Delta T/b\), и всё оно идёт на испарение. Пар, образовавшийся внутри цилиндра, в стационарном состоянии вытекает через его боковую поверхность: масса \(\rho_VQ\) в единицу времени требует тепла \(\rho_VQ\,\ell\): \[\rho_V\ell\,Q=\frac{\pi r^2\mathcal K\Delta T}{b}.\] Подставляем \(Q\) из 3.3: \[-\rho_V\ell\,\frac{\pi rb^3}{6\eta}\,P'=\frac{\pi r^2\mathcal K\Delta T}{b}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dP}{dr}=-\frac{6\eta \mathcal K\Delta T}{\rho_V\ell\,b^4}\;r .\] Интегрируем: \(P(r)=-\dfrac{3\eta \mathcal K\Delta T}{\rho_V\ell b^4}\,r^2+B\), а постоянную находим из условия \(P(R)=P_{\mathrm a}\): \[\boxed{\,P(r)=P_{\mathrm a}+\frac{3\eta \mathcal K\Delta T}{\rho_V\ell\,b^4}\,\bigl(R^2-r^2\bigr)\,}\] 3.5) Результирующая сила давления на каплю — вверх, равная избыточному давлению снизу (над атмосферным, действующим сверху), проинтегрированному по основанию капли (кольца \(2\pi r\,dr\)): \[f=\int_0^R\bigl[P(r)-P_{\mathrm a}\bigr]\,2\pi r\,dr=\frac{3\eta \mathcal K\Delta T}{\rho_V\ell b^4}\cdot2\pi\Bigl(\frac{R^4}{2}-\frac{R^4}{4}\Bigr)=\frac{3\pi\eta \mathcal K\Delta T\,R^4}{2\rho_V\ell\,b^4}.\] Вес полусферической капли \(m g=\tfrac23\pi R^3\rho_0g\). Условие равновесия по вертикали: \(f=mg\): \[\frac{3\pi\eta \mathcal K\Delta T\,R^4}{2\rho_V\ell b^4}=\frac23\pi R^3\rho_0g\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,b=\Bigl(\frac{9\eta \mathcal KR\,\Delta T}{4\rho_0\rho_V\ell g}\Bigr)^{1/4}\,}\] Из этого же условия следует полезное соотношение \[\frac{3\eta \mathcal K\Delta T}{\rho_V\ell b^4}=\frac{4\rho_0g}{3R},\qquad P(r)=P_{\mathrm a}+\frac{4\rho_0g}{3R}\,\bigl(R^2-r^2\bigr),\] показывающее, что избыточное давление в центре равно \(\tfrac43\rho_0gR\), а в среднем по основанию — половине этого, то есть \(\tfrac23\rho_0gR=mg/(\pi R^2)\) (вес, делённый на площадь основания).

Рис. 5. Вес капли и сила давления пара: избыточное давление убывает от центра к краю по параболе, их интеграл по основанию равен весу.

Проверка. Размерность: числитель \(\eta \mathcal K\Delta T\,R\) — кг\(^2\cdot\)м\(\cdot\)с\(^{-4}\), знаменатель \(\rho_0\rho_V\ell g\) — кг\(^2\cdot\)м\(^{-3}\)с\(^{-4}\); частное — м\(^4\), как и должно быть для \(b^4\). Для оценки (вода на пластине около \(300\,^\circ\)C, свойства пара взяты приближённо: \(\eta\approx1{,}8\cdot10^{-5}\) Па\(\cdot\)с, \(\mathcal K\approx0{,}04\) Вт/(м\(\cdot\)К), \(\rho_V\approx0{,}4\) кг/м\(^3\), \(\ell=2{,}26\cdot10^6\) Дж/кг, \(\rho_0\approx958\) кг/м\(^3\), \(\Delta T=200\) К, \(R=2\) мм) получаем \(b\approx0{,}09\) мм: слой действительно тонкий, \(b\ll R\), и смазочное приближение оправдано; избыточное давление в центре — около \(25\) Па.

3.6) Масса пара, выходящая из-под капли в единицу времени, — это расход через боковую поверхность \(r=R\), умноженный на плотность \(\rho_V\). Из 3.5 \(P'(R)=-\dfrac{8\rho_0g}{3R}\,R=-\dfrac{8\rho_0g}{3}\): \[\frac{dm_V}{dt}=\rho_VQ(R)=\rho_V\,\frac{\pi Rb^3}{6\eta}\cdot\frac{8\rho_0g}{3}=\frac{4\pi\rho_V\rho_0gR}{9\eta}\,b^3 .\] Подставим \(b^3=\Bigl(\dfrac{9\eta \mathcal KR\Delta T}{4\rho_0\rho_V\ell g}\Bigr)^{3/4}\): \[\boxed{\,\frac{dm_V}{dt}=\beta\,R^{7/4},\qquad \beta=\Bigl(\frac{4\pi^4\mathcal K^3\rho_V\rho_0g\,(\Delta T)^3}{9\eta\ell^3}\Bigr)^{1/4}\,}\] Проверка. Второй способ: вся испарившаяся масса получена из тепла через основание, \(\dfrac{dm_V}{dt}=\dfrac{\pi R^2\mathcal K\Delta T}{\ell b}\); с найденным \(b\propto R^{1/4}\) это даёт \(R^{7/4}\) и тот же \(\beta\). Численно для примера выше: \(dm_V/dt\approx4{,}8\cdot10^{-7}\) кг/с.

3.7) Масса капли убывает на массу испарившегося пара: \(\dfrac{dm}{dt}=-\dfrac{dm_V}{dt}\). При \(m=\tfrac23\pi R^3\rho_0\): \[\frac{d}{dt}\Bigl(\frac23\pi R^3\rho_0\Bigr)=2\pi\rho_0R^2\,\frac{dR}{dt}=-\beta R^{7/4}\quad\Longrightarrow\quad R^{1/4}\,dR=-\frac{\beta}{2\pi\rho_0}\,dt .\] Интегрируем от начального радиуса \(R\) до нуля, время — от \(0\) до \(\tau\): \[\int_R^{0}R'^{1/4}dR'=-\frac45R^{5/4}=-\frac{\beta\tau}{2\pi\rho_0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,\tau=\frac{8\pi\rho_0}{5\beta}\,R^{5/4}=\frac85\Bigl(\frac{9\eta\rho_0^3\ell^3}{4\mathcal K^3\rho_Vg\,(\Delta T)^3}\Bigr)^{1/4}R^{5/4}\,}\] Закон изменения радиуса: если начальный радиус \(R_0\), то \(R(t)=R_0\,(1-t/\tau)^{4/5}\) (рис. 6; здесь \(\tau\) вычислено для \(R=R_0\)).

Рис. 6. Радиус капли в ходе испарения: чем меньше капля, тем быстрее убывает радиус в конце.

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\rho_0}{\beta}R^{5/4}\) — (кг/м\(^3\))/(кг/(с\(\cdot\)м\(^{7/4}\)))\(\cdot\)м\(^{5/4}\) = с. Для примера выше \(\tau\approx80\) с, порядок величины разумный: капли воды миллиметрового размера на раскалённой сковороде живут десятки секунд. Это в \(\approx2{,}4\) раза больше отношения массы капли к начальной скорости испарения (\(\approx34\) с): скорость убывает вместе с радиусом (\(\propto R^{7/4}\), медленнее объёма), поэтому капля исчезает дольше, чем при постоянной начальной скорости.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.