Пластина с необычной теплопроводностью

Направим ось \(x\) от стенки с температурой \(T_1\) к стенке с температурой \(T_2\). В стационарном режиме тепловой поток через сечение пластины, расположенное на расстоянии \(x\), равен \[P = -k(T)S\dfrac{dT}{dx} = \text{const}.\] Запишем это уравнение в виде \[P\,dx = -Sk(T)\,dT.\qquad (1)\] Просуммируем обе части уравнения (1) по всей толщине пластины: \[P\int\limits_0^d dx = -S\int\limits_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT.\] Отсюда находим \[P = -\dfrac{S}{d}\int\limits_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT.\] Интеграл вычисляем графически, как площадь под кривой \(k(T)\), ограниченную прямыми \(T = T_1\) и \(T = T_2\). Поскольку \(\int\limits_{T_1}^{T_2} k(T)\,dT > 0\), то \(P < 0\); это означает, что тепловой поток направлен против оси \(x\) (от \(T_2\) к \(T_1\)) и по модулю равен \[|P| \approx (450 \pm 20)\text{ Вт}.\] Распределение температуры внутри пластины можно найти с помощью (1), если просуммировать \(k(T)\) по толщине пластины от нуля до \(x\): \[\dfrac{1}{S}\int\limits_0^x |P|\,dx = |P|\dfrac{x}{S} = \int\limits_{T_1}^{T_x} k(T)\,dT.\] Для каждого значения \(x\) можно найти температуру \(T_x\), при которой площадь под кривой \(k(T)\), ограниченной прямыми \(T = T_1\) и \(T = T_x\), была бы численно равна \(\dfrac{|P|x}{S}\).

В среднем сечении пластины (\(x = d/2\)) температура \(T \approx (290 \pm 10)\) К. Если бы коэффициент \(k\) не зависел от температуры, то температура в плоскости \(x = \dfrac{d}{2}\) равнялась бы \(330\) К.