«Пионеры» покидают Солнечную систему

Согласно имеющимся во втором абзаце статьи данным аппараты должны вернуться к Солнцу, а значит, их орбиты — эллипсы, причем, очевидно, очень вытянутые, т. е. максимально удаленные точки орбиты находятся от Солнца на расстоянии порядка большой оси эллипса (рис. 150).

Воспользуемся третьим законом Кеплера, чтобы найти длину большой полуоси этого эллипса. Пусть \(T_{\text{а}}\) и \(T_3\) — периоды обращения аппаратов и Земли вокруг Солнца, \(a_{\text{а}}\) и \(a_3\) — большие полуоси их орбит. Тогда \[\dfrac{T_{\text{а}}^2}{T_3^2} = \dfrac{a_{\text{а}}^3}{a_3^3},\qquad a_{\text{а}}^3 = a_3^3\cdot\dfrac{T_{\text{а}}^2}{T_3^2}.\] Расстояние от Солнца до Земли находим, используя скорость света и время его прохождения: \(a_3 = \tau c\). Получаем, что максимальное удаление аппаратов от Солнца \[L = 2a_{\text{а}} = 2\tau c\,(T_{\text{а}}/T_3)^{2/3},\] где отношение \(\dfrac{T_{\text{а}}}{T_3}\) согласно данным статьи равно \(2{,}5\cdot 10^8\). Отсюда \[L \approx 2\cdot 480\cdot 3\cdot 10^8\,(2{,}5\cdot 10^8)^{2/3}\text{ м} \approx 1{,}2\cdot 10^{17}\text{ м} \approx 1{,}2\cdot 10^{14}\text{ км}.\] Если же оценивать это расстояние из данных в третьем абзаце, получается совершенно иной результат. Во-первых, плохо согласуются между собой данные о расстоянии до аппаратов и о времени запаздывания сигналов:

1) \(l_{\text{а}} = 10^{10}\) км \(\approx 67\) а.е.;

2) \(l_{\text{а}} = (12\cdot 3600\cdot 3\cdot 10^5)\) км \(\approx 1{,}3\cdot 10^{10}\) км \(\approx 87\) а.е.

Во-вторых, независимо от того, на каком из этих расстояний находятся аппараты, указанная скорость \(v_0 = 130\,000\) км/ч \(= 36\) км/с является гиперболической. Эта скорость настолько велика, что гравитационное взаимодействие с Солнцем способно уменьшить ее не более, чем на \(1\%\): \[v_\infty^2 = v_0^2 - 2GM_{\text{c}}/l_{\text{а}}.\] Известно, что \(GM_{\text{c}} = v_{\text{орб}}^2R_3\), где \(v_{\text{орб}}\) — орбитальная скорость Земли по орбите вокруг Солнца (\(v_{\text{орб}} \approx 30\) км/с), \(R_3\) — среднее расстояние от Земли до Солнца (\(R_3 = 1\) а.е. \(= 149{,}6\cdot 10^6\) км). В результате получаем: \[v_\infty^2 = v_0^2 - 2v_{\text{орб}}^2R_3/l_{\text{а}}.\] Числовые оценки дают:

1) для \(l_{\text{а}} = 10^{10}\) км \(\;v_\infty \approx 35{,}7\) км/с;

2) для \(l_{\text{а}} = 1{,}3\cdot 10^{10}\) км \(\;v_\infty \approx 35{,}8\) км/с.

В любом из этих случаев аппараты летят, практически равномерно удаляясь от Солнечной системы, и за миллиард лет улетят на расстояние \[L \approx 1{,}1\cdot 10^{18}\text{ км}.\] Как видим, этот ответ на четыре порядка отличается от результата, полученного по данным из второго абзаца.