Брусок на двух пружинах

Пусть \(x\) — смещение бруска вниз для произвольного момента времени, \(y\) — смещение верхнего конца пружин. Удлинение левой пружины \(\Delta x_1 = x - y\), удлинение правой пружины \(\Delta x_2 = x + y\) (рис. 149).

Из условия малости масс блока и нити следует, что силы упругости обеих пружин одинаковы: \[k_1(x - y) = k_2(x + y).\] Отсюда \[y = \dfrac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}\,x.\] Удлинения левой и правой пружин соответственно равны \[\Delta x_1 = \dfrac{2k_2}{k_1 + k_2}\,x,\qquad \Delta x_2 = \dfrac{2k_1}{k_1 + k_2}\,x.\] Уравнение движения бруска: \[M\ddot x = -k_1\Delta x_1 - k_2\Delta x_2,\] откуда \[\ddot x + \dfrac{4k_1k_2}{M(k_1 + k_2)}\,x = 0.\] Это уравнение описывает гармонические колебания с периодом \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M(k_1 + k_2)}{4k_1k_2}}.\]