Спутник улетает от Земли

Из закона всемирного тяготения следует, что ускорение свободного падения на поверхности Земли равно \(g = GM_{\text{З}}/R_{\text{З}}^2\), где \(M_{\text{З}}\) — масса Земли. Уравнение движения спутника массой \(m\) по круговой орбите высотой \(h\) со скоростью \(v\) имеет вид: \(\dfrac{mv^2}{R_{\text{З}} + h} = G\dfrac{mM_{\text{З}}}{(R_{\text{З}} + h)^2}\), откуда \(v = \sqrt{\dfrac{gR_{\text{З}}^2}{R_{\text{З}} + h}} \approx 7{,}8\) км/с. Применяя закон сохранения механической энергии к процессу разгона спутника, получаем: \[\dfrac{mv_\infty^2}{2} = \dfrac{m(v + \Delta v)^2}{2} - \dfrac{GmM_{\text{З}}}{R_{\text{З}} + h} = \dfrac{m(v + \Delta v)^2}{2} - m\dfrac{gR_{\text{З}}^2}{R_{\text{З}} + h} = \dfrac{m(v + \Delta v)^2}{2} - mv^2,\] откуда \(v_\infty = \sqrt{2v\Delta v + \Delta v^2 - v^2} \approx 6{,}5\) км/с. Заметим, что найденная скорость спутника \(v_\infty\) вдали от Земли превышает величину \(\Delta v\)!