Энергия и тепло в цепи конденсаторов

Введём для ёмкостей имеющихся в схеме конденсаторов следующие обозначения: \(C_1 = 1\) мкФ, \(C_2 = 2\) мкФ, \(C_3 = 3\) мкФ, \(C_4 = 4\) мкФ. Время установления равновесия в данной системе может быть оценено по порядку величины как произведение сопротивления \(R\) на суммарную ёмкость всех конденсаторов: \(\tau \sim R(C_1 + C_2 + C_3 + C_4) = 1\) с. Следовательно, через 10 секунд после замыкания ключа все процессы зарядки конденсаторов закончатся, и токи через все участки цепи, в том числе через резистор, прекратятся. Поэтому напряжение на резисторе станет равным нулю, и исходную схему можно будет заменить эквивалентной, которая показана на рисунке 3.29.1. Ёмкость эквивалентной батареи конденсаторов, получившейся при такой замене, равна \[C = \dfrac{1}{\dfrac{1}{C_1 + C_2} + \dfrac{1}{C_3 + C_4}} = 2{,}1\text{ мкФ},\] заряд этой батареи \(q = C\mathcal{E} = 4{,}2\cdot 10^{-4}\) Кл, а запасённая в ней энергия \(W = C\mathcal{E}^2/2 = 4{,}2\cdot 10^{-2}\) Дж.

Найдём теперь тепло, выделившееся на резисторе. Для этого рассмотрим процесс зарядки конденсаторов более подробно. Так как внутреннее сопротивление источника намного меньше сопротивления резистора, то после замыкания ключа сначала за короткий промежуток времени \(\Delta t_1 \ll \tau\) происходит зарядка всех конденсаторов, причём утечкой заряда через \(R\) при этом можно пренебречь (первый этап зарядки). Следовательно, для указанного небольшого промежутка времени \(\Delta t_1\) непосредственно после замыкания ключа исходную схему можно перерисовать в виде, показанном на рисунке 3.29.2.

Ёмкость такой эквивалентной батареи равна \[C' = \dfrac{C_1C_3}{C_1 + C_3} + \dfrac{C_2C_4}{C_2 + C_4} = \dfrac{25}{12}\text{ мкФ} \approx 2{,}083\text{ мкФ},\] её заряд к концу первого этапа зарядки \(q' = C'\mathcal{E} = 4{,}17\cdot 10^{-4}\) Кл, а запасённая в батарее к концу первого этапа энергия \(W' = C'\mathcal{E}^2/2 = 4{,}17\cdot 10^{-2}\) Дж. Далее в течение промежутка времени \(\Delta t_2 \sim \tau\) происходит медленная перезарядка конденсаторов через резистор \(R\) (второй этап зарядки). К концу этого этапа, как было показано выше, заряд батареи конденсаторов становится равным \(q\), а запасённая в батарее энергия принимает значение \(W\). Согласно закону сохранения энергии, выделившаяся на резисторе теплота \(Q_R\) равна разности совершённой источником работы по перемещению зарядов и разницы энергий, запасённой в конденсаторах на различных этапах зарядки: \[Q_R = (q - q')\mathcal{E} - (W - W') = (C - C')\mathcal{E}^2 - \dfrac{(C - C')\mathcal{E}^2}{2} = \dfrac{(C - C')\mathcal{E}^2}{2} \approx 3{,}4\cdot 10^{-4}\text{ Дж}.\] Отметим, что эта теплота, так же, как и в предыдущей задаче, не зависит от величины сопротивления \(R\).