Стопка монет

По закону теплопроводности искомая мощность вычисляется по формуле \(P = k(T - T_0)\), где \(k\) — некоторый коэффициент, зависящий только от материалов и размеров цилиндра. Поскольку монет по условию много, большинство из них вдали от термостата находятся практически при температуре \(T_0\). Таким образом, добавление к свободному торцу цилиндра ещё одной монеты с бумажной прослойкой не изменит распределение температур, а также величины \(P\) и \(k\). За счёт большого коэффициента теплопроводности золота по сравнению с бумагой температуру каждой монеты можно считать одинаковой по всему её объёму. Пусть \(T_1\) — температура ближайшей к термостату монеты, тогда цилиндр из остальных монет получает от неё мощность \(P_1 = k(T_1 - T_0)\), так как этот цилиндр эквивалентен первоначальному, а первая монета играет для него роль термостата. Исключая \(k\) из записанных выше выражений для \(P\) и \(P_1\), находим \[P_1 = P\cdot\frac{T_1 - T_0}{T - T_0}. \tag{167}\] По закону теплопроводности найдём мощность теплопередачи через бумагу между первой монетой и окружающей средой: \[\Delta P_1 = \mu\cdot 2\pi RH\cdot\frac{T_1 - T_0}{l}. \tag{168}\] Уравнение теплового баланса для первой монеты имеет вид \[P = P_1 + \Delta P_1. \tag{169}\] По закону теплопроводности найдём мощность теплопередачи через бумагу между термостатом и первой монетой: \[P = \mu\cdot\pi R^2\cdot\frac{T - T_1}{d}. \tag{170}\] Подставив выражения (167) и (168) в уравнение (169) и использовав формулу (170) для исключения \(T_1\) (для упрощения алгебраических преобразований целесообразно предварительно обозначить группы констант временными буквами), получим \[P^2 + \frac{2\pi\mu RH}{l}(T - T_0)\cdot P - \frac{2\pi^2\mu^2R^3H}{ld}(T - T_0)^2 = 0.\] Из физического смысла \(P/(T - T_0) = k = \text{const} > 0\), поэтому выбираем плюс при записи решения квадратного уравнения: \[P = \frac{\pi\mu RH}{l}(T - T_0)\left(\sqrt{1 + \frac{2Rl}{Hd}} - 1\right).\]