Камни

Если пренебречь сопротивлением воздуха, то можно считать, что оба камня движутся с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения \(\vec g\). Для описания их движения введём декартову систему координат так, как показано на рисунке.

Если через промежуток времени \(t\) камни столкнутся, то можно приравнять их координаты: \[vt\cos\beta = L + v_0t\cos\alpha, \tag{78}\] \[vt\sin\beta - \frac{gt^2}{2} = H + v_0t\sin\alpha - \frac{gt^2}{2}. \tag{79}\] Из этих уравнений найдём \[v = v_0\frac{\sin\alpha - \dfrac HL\cos\alpha}{\sin\beta - \dfrac HL\cos\beta}, \tag{80}\] \[t = \frac{L}{v_0\cos\alpha}\left(\frac{\dfrac HL - \operatorname{tg}\alpha}{\dfrac HL - \operatorname{tg}\beta} - 1\right)^{-1}. \tag{81}\] Время движения до столкновения удобно выразить через скорость \(\vec v_r\) движения одного камня относительно другого (см. рисунок): \[t = \frac{\sqrt{L^2 + H^2}}{v_r}.\] При фиксированных величине и направлении вектора \(\vec v_0\) и заданном направлении вектора \(\vec v\) из векторного треугольника скоростей, показанного на рисунке, видно, что меньшим \(v_r\) соответствует меньшая скорость \(v\). Таким образом, минимальной скорости \(v\) соответствует минимальное значение \(v_r\) и, следовательно, максимальное время \(t\).

Ещё одно условие ограничивает возможность столкновения камней. Камень, пущенный вдогонку, должен удалиться от начала координат по горизонтали на расстояние, большее \(L\). Дальность его полёта равна \(v^2\sin2\beta/g\). Поэтому должно быть обеспечено условие \[v^2\sin2\beta \geqslant Lg. \tag{82}\] Итак, нужно найти такие значения \(v\) и \(\beta\), которые удовлетворяют равенству (80), неравенству (82) и обеспечивают наибольшее значение (81). Подставляя выражение (80) в (82), получим неравенство \[2\frac{v_0^2}{Lg}\left(\sin\alpha - \frac HL\cos\alpha\right)^2\operatorname{tg}\beta - \left(\operatorname{tg}\beta - \frac HL\right)^2 \geqslant 0.\] Обозначив \[\frac{v_0^2}{Lg}\left(\sin\alpha - \frac HL\cos\alpha\right)^2 = a\] и \(\operatorname{tg}\beta = \xi\), получим \[\xi^2 - 2\left(\frac HL + a\right)\xi + \frac{H^2}{L^2} \leqslant 0.\] Это неравенство выполняется, если \[\frac HL + a - \sqrt{a^2 + 2a\frac HL} \leqslant \xi \leqslant \frac HL + a + \sqrt{a^2 + 2a\frac HL}.\] Как видно из формулы (81) при \(\alpha = 0{}^\circ\), бо́льшие значения \(t\) обеспечиваются меньшими значениями \(\xi = \operatorname{tg}\beta\). Поэтому нужно выбрать для \(\xi\) меньшее значение. Получим \[\operatorname{tg}\beta = \frac HL + a - \sqrt{a^2 + 2a\frac HL} \quad\text{при}\quad \alpha = 0{}^\circ. \tag{83}\] Аналогично из формулы (81) при \(\alpha = 60{}^\circ\) видим, что бо́льшие значения \(t\) обеспечиваются бо́льшими значениями \(\xi = \operatorname{tg}\beta\). Поэтому нужно выбрать для \(\xi\) большее значение. Получим \[\operatorname{tg}\beta = \frac HL + a + \sqrt{a^2 + 2a\frac HL} \quad\text{при}\quad \alpha = 60{}^\circ. \tag{84}\] Таким образом, ответы на поставленные в условии вопросы содержатся в формулах (83), (84) и (80). Подставляя численные значения, находим \[\alpha = 0{}^\circ,\quad \beta \approx 11{}^\circ,\quad v \approx 16{,}4\text{ м/с}.\] \[\alpha = 60{}^\circ,\quad \beta \approx 58{}^\circ,\quad v \approx 10{,}5\text{ м/с}.\]