Чайная церемония и физика пузырьков
5/10Чайная церемония — традиция в Азии. Один из важных этапов приготовления чая — кипячение свежей воды, когда внутри появляются пузырьки. Пузырьки знакомы нам по повседневной жизни и играют важную роль в физике, химии, медицине и технике. Тем не менее их поведение часто удивительно и неожиданно — и во многих случаях до сих пор не понято.
При комнатной температуре чистая вода насыщена газом. С ростом температуры избыточное давление растворённого газа \(P_{ab}\) растёт, растворённый воздух выделяется, и на дне и стенках чайника появляются пузырьки воздуха (ВП) (рис. 2). Для чистой воды смачиваемость достаточна, и ВП представляет собой усечённую сферу радиуса \(R_{ab}\) с несмоченным основанием радиуса \(r_{ab} \ll R_{ab}\). При дальнейшем нагреве ВП расширяются и, достигнув определённых размеров, могут оторваться от дна (рис. 3), всплыть к поверхности воды и лопнуть там. Пузырьки пара (ПП) появляются, когда температура воды у дна достигает критического значения \(T_w^0 \approx T_{crit}^0 = 100^\circ\text{C}\), при котором давление насыщенного пара превышает внешнее давление. Образование пара возрастает в десятки раз, ПП расширяются и отрываются от дна. Можно считать, что ПП состоит только из пара. Если вода прогрета достаточно, всплывающий ПП продолжает раздуваться, достигает поверхности и лопается. Иначе вода в верхних слоях прогрета недостаточно и существует сильный вертикальный градиент температуры. Достигнув относительно холодных слоёв воды, ПП схлопываются в толще воды (рис. 4). Это вызывает индуцированную дегазацию — сильные колебания и выделение значительного количества растворённого воздуха в виде микроскопических пузырьков воздуха (МПВ). Это может порождать ультразвуковые колебания.
Основные стадии эволюции пузырьков в процессе кипения:
– появление и рост ВП на дне и стенках, их превращение в ПП;
– отрыв и всплытие ПП, их исчезновение в толще воды или на поверхности;
– появление МПВ в толще воды и их всплытие к поверхности.
Это теоретическое описание хорошо согласуется с современными экспериментами. В частности, был проведён интересный эксперимент по анализу шума (ЭАШ, Уральский государственный университет, Екатеринбург) для кипящей воды. Высокочувствительные микрофоны, подключённые к широкополосным усилителям и поднесённые к электрическому чайнику, зарегистрировали три основных источника шума:
1. Отрыв ВП от дна до кипения (порождает колебания с \(\nu_1 \sim 100\) Гц);
2. Схлопывание ПП в толще воды (порождает колебания с \(\nu_2 \sim 1\) кГц);
3. Появление МПВ под поверхностью воды (порождает колебания с \(\nu_3 \sim 35\) кГц – \(60\) кГц).
Подсказки:
1) Хорошо известно, что маленький пузырёк всплывает по прямолинейной траектории и наблюдается ламинарное течение — вода обтекает его легко и послойно (см. рис. 1). Тогда силу сопротивления для частицы, движущейся с малой скоростью \(v_{lam}\), описывает формула Стокса: \[F_A = 6\pi\eta_wR_bv_{lam}.\] В отличие от этой картины, когда к поверхности поднимаются относительно большие пузырьки, они возмущают окружающую воду, позади них появляются кавитационные полости и наблюдается турбулентное течение (см. рис. 1). В этом случае часть кинетической энергии всплывающего пузырька переходит в диссипативную работу.
Рис. 1. Ламинарный и турбулентный типы обтекания всплывающих в воде пузырьков воздуха.
2) Когда поверхность жидкости имеет выпуклую (вогнутую) форму, возникает сила поверхностного натяжения, обусловленная взаимодействием молекул вблизи края. Это давление даётся формулой \[\Delta P = \frac{2\sigma}{R},\] где \(\sigma\) — коэффициент поверхностного натяжения (единица — Н/м), сила, приходящаяся на единицу длины, \(R\) — радиус кривизны поверхности.
3) Если речь идёт о коротком процессе с характерной длительностью \(t\), обратную величину можно считать характерной частотой \(\nu = \dfrac1t\). Используйте это определение для вычисления частот шума.
Полезные данные:
\(P_0 = 1{,}016\cdot10^5\) Па — атмосферное давление;
\(\rho_w = 10^3\) кг/м\(^3\) — плотность воды;
\(\rho_{vapor} = 0{,}017\) кг/м\(^3\) — плотность пара при \(T = 293\) К (\(= 0{,}596\) кг/м\(^3\) при \(T = 373\) К);
\(P_{vapor} = 0{,}023\cdot10^5\) Па — давление пара при \(T = 293\) К (\(= 1{,}016\cdot10^5\) Па при \(T = 373\) К);
\(g = 9{,}81\) м/с\(^2\) — ускорение свободного падения;
\(\mu_{air} = 0{,}029\) кг/моль — молярная масса воздуха;
\(R = 8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К) — универсальная газовая постоянная;
\(\sigma = 0{,}0725\) Н/м — коэффициент поверхностного натяжения воды;
\(\eta_w = 0{,}3\cdot10^{-3}\) Па\(\cdot\)с — коэффициент вязкости воды;
\(H = 10\) см — высота воды в чайнике.
Рис. 2. Пузырьки в чайнике.
Рис. 3. Отрыв пузырька воздуха от дна.
Рис. 4. Схлопывание пузырька пара.
Вопросы (всего 10 баллов):
Рассмотрим воду, кипящую в стеклянном цилиндрическом чайнике с плоским дном при нормальном атмосферном давлении. Дно чайника нагревается равномерно, существует вертикальный градиент температуры, пузырьки появляются и эволюционируют (рис. 2).
Q1. Запишите условие роста ВП по давлению в толще воды на высоте \(h < H\), где \(H\) — уровень поверхности воды в чайнике. Учтите неравенство \(2\pi\sigma r_{ab} \gg P_{extern}\pi r_{ab}^2\). [через \(P_{ab}\), \(P_0\), \(R_{ab}\), \(\rho_w\), \(g\), \(\sigma\), \(h\), \(H\)] (1,0 балла)
Q2. Запишите для ВП условие отрыва от дна чайника (рис. 3). Учтите соотношение \(r_{ab} \ll R_{ab}\). [через \(r_{ab}\), \(R_{ab}\), \(\rho_w\), \(\sigma\)] (1,5 балла)
Q3. Рассмотрим ВП радиуса \(R_b\) на дне чайника. По мере кипячения воды пузырёк насыщается паром и увеличивает свой радиус. Запишите отношение \(\xi \equiv m_{air}/m_{vapor}\) масс воздуха и насыщенного пара внутри пузырька при данной температуре \(T\). Вычислите это отношение при комнатной температуре \(T = 20^\circ\)C (\(R_b = 0{,}5\) мм) и при температуре кипения \(T = 100^\circ\)C (\(R_b = 1\) мм). [через \(\mu_{air}\), \(T\), \(P_0\), \(P_{vapor}\), \(R_b\), \(\rho_w\), \(\rho_v\), \(\sigma\), \(H\)] (1,5 балла)
Q4. Используя данные ЭАШ и закон Ньютона, оцените радиус ВП, оторвавшегося от дна и поднявшегося на расстояние \(R_{ab}\) (рис. 3). Считайте, что присоединённая масса ВП (с учётом окружающего слоя воды) равна половине массы аналогичного водяного шарика. (1,0 балла)
Q5. Запишите радиус основания ВП непосредственно перед всплытием, когда соединительная «шейка» очень узкая (см. рис. 3). [через \(R_{ab}\), \(\rho_w\), \(\sigma\)]. Вычислите его, используя радиус, найденный в Q4. (1,5 балла)
Q6. Используя данные ЭАШ, оцените радиус схлопывающегося ПП (рис. 4), считая, что радиальное давление в этом процессе около 3 кПа. (1,2 балла)
Q7. Используя предыдущие результаты для ПП, вычислите радиус МПВ, образующихся при индуцированной дегазации. (0,5 балла)
Q8. Запишите скорость всплытия типичного ВП, используя закон Стокса для ламинарного течения [через \(R_{ab}\), \(\rho_w\), \(\eta_w\)]. Оцените время всплытия при \(H = 10\) см. (0,6 балла)
Q9. Запишите среднюю скорость подъёма ПП при турбулентном типе течения [через \(R_{ab}\), \(\rho_w\), \(\eta_w\)]. Оцените время подъёма при \(H = 10\) см. (1,2 балла)
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаПузырёк живёт, пока давление газа в нём не меньше внешнего (атмосферное, гидростатическое и лапласовское). Отрыв — когда архимедова сила превышает силу поверхностного натяжения по контуру основания. Частоты шума — обратные характерные времена: отрыва, схлопывания; при турбулентном всплытии силу сопротивления оценивайте через энергию, передаваемую вытесняемой воде.
ОтветQ1) \(P_{ab} = P_{in} \ge P_{out} \equiv P_0 + g\rho_w(H-h) + \dfrac{2\sigma}{R_{ab}}\); Q2) \(g\dfrac{4\pi R_{ab}^3}{3}\rho_w > \sigma\cdot2\pi r_{ab}\); Q3) \(\xi = \dfrac{\mu_{air}}{RT\rho_v}\left(P_0 + g\rho_wH + \dfrac{2\sigma}{R_b} - P_{vapor}\right)\), \(\xi \approx 69{,}2\) при \(20^\circ\)C, \(\xi \approx 0{,}017\) при \(100^\circ\)C; Q4) \(R_{ab} \approx 1\cdot10^{-3}\) м; Q5) \(r_{ab} \approx \dfrac{2g\rho_wR_{ab}^3}{3\sigma} \approx 9{,}02\cdot10^{-5}\) м; Q6) \(R_{cb} \approx 3\) мм; Q7) \(R_{mab} \approx 0{,}05 \div 0{,}086\) мм; Q8) \(v_{lam} \approx 2{,}2\) м/с, время \(0{,}045\) с — формула Стокса неприменима; Q9) \(v_{turb} \approx \sqrt{8gR_{vb}/3} \approx 0{,}16 \div 0{,}28\) м/с, \(t_{turb} > 0{,}35 \div 0{,}62\) с.
РешениеS1. Условие существования и роста ВП, появившегося в толще воды на высоте \(h < H\), — соперничество давлений, действующих изнутри и снаружи (атмосферного, гидростатического и поверхностного натяжения) на поверхность пузырька: \[P_{ab} = P_{in} \ge P_{out} \equiv P_0 + g\rho_w\cdot(H-h) + \frac{2\sigma}{R_{ab}}.\]
S2. Подъёмная сила Архимеда \[F_A = g\cdot(\rho_w - \rho_{ab})\frac{4\pi R_{ab}^3}{3} \approx g\cdot\rho_w\frac{4\pi R_{ab}^3}{3},\] где \(\rho_{ab} \ll \rho_w\) — плотность воздуха в пузырьке.
При \(r_{ab} \ll R_{ab}\) главную роль в удержании пузырька играет сила поверхностного натяжения Лапласа: \[F_{down} = \sigma\cdot2\pi r_{ab}.\] Устойчивость ВП на дне означает \[F_A = F_{down}.\] При дальнейшем нагреве подъёмная сила превышает удерживающую: \[g\frac{4\pi R_{ab}^3}{3}\rho_w > \sigma\cdot2\pi r_{ab},\] и ВП отрывается от дна и всплывает (рис. 3).
S3. Для устойчивого пузырька давления воздуха и пара внутри компенсируют внешнее давление: \[P_{vapor} + P_{air} = P_0 + g\rho_wH + \frac{2\sigma}{R_b}.\] Массу воздуха внутри ВП можно найти из уравнения Клапейрона — Менделеева: \[m_{air} = \frac{\mu_{air}P_{air}V}{RT}.\] Масса пара \[m_{vapor} = \rho_{vapor}\cdot V .\] Тогда отношение \[\xi \equiv \frac{m_{air}}{m_{vapor}} = \frac{\mu_{air}P_{air}}{RT\rho_v} = \frac{\mu_{air}}{RT\rho_v}\left(P_0 + g\rho_wH + \frac{2\sigma}{R_b} - P_{vapor}\right).\] При \(T = 20^\circ\text{C} = 293\) К и \(R_b = 0{,}5\) мм: \[\xi = \frac{0{,}029}{8{,}31\cdot293\cdot0{,}0173}\left(1{,}016\cdot10^5 + 9{,}81\cdot10^3\cdot0{,}1 + \frac{2\cdot0{,}0727}{0{,}5\cdot10^{-3}} - 2{,}3\cdot10^3\right) \approx 69{,}2.\] Этот пузырёк состоит в основном из воздуха.
При \(T = 100^\circ\text{C} = 373\) К и \(R_b = 1\) мм: \[\xi = \frac{0{,}029}{8{,}31\cdot373\cdot0{,}596}\left(1{,}016\cdot10^5 + 9{,}81\cdot10^3\cdot0{,}1 + \frac{2\cdot0{,}0588}{1\cdot10^{-3}} - 1{,}016\cdot10^5\right) \approx 0{,}017.\] Этот пузырёк состоит в основном из насыщенного пара.
S4. Рассмотрим ВП, оторвавшийся от дна и поднявшийся на расстояние \(R_{ab}\) (см. рис. 3). При подъёме пузырьки вызывают смещение окружающей жидкости в их окрестности, что приводит к силе присоединённой массы. Присоединённая масса пузырька \[M_{invol} \approx \frac{V_{ab}\rho_w}{2}.\] Ускорение в момент отрыва \[a_{det} = \frac{F_A}{M_{invol}} = \frac{gV_{ab}\rho_w}{V_{ab}\rho_w/2} = 2g .\] Характерное «время отрыва» \[t_1 = \sqrt{\frac{2R_{ab}}{a_{det}}}\] определяет длительность воздействия на жидкость при отрыве. Жидкость начинает колебаться с характерной частотой \[\nu_1 = \frac{1}{t_1} = \sqrt{\frac{g}{R_{ab}}}.\] Подставляя данные ЭАШ, оцениваем характерный радиус отрывающегося ВП: \[\nu_1 \approx 100\text{ Гц} \;\Rightarrow\; R_{ab} \approx 1\cdot10^{-3}\text{ м}.\]
S5. Баланс подъёмной и удерживающей сил: \[gV_{ab}\rho_w \approx \sigma\cdot2\pi r_{ab}.\] Находим типичный радиус основания: \[r_{ab} \approx \frac{2g\rho_wR_{ab}^3}{3\sigma}.\] Для ВП радиусом \(\sim\)1 мм вычисляем \[r_{ab} \approx \frac{2\cdot9{,}81\cdot10^3\cdot10^{-9}}{3\cdot0{,}0725}\text{ м} \approx 9{,}02\cdot10^{-5}\text{ м}.\]
S6. Рассмотрим ПП, схлопывающийся за время \(t_2\) (рис. 4). Оценим характерную частоту ультразвуковых ударных волн. Окружающая вода заполняет схлопнувшийся ПП с ускорением \(a\), и уравнение Ньютона имеет вид \[F_{collap} \approx a\cdot\frac{4\pi R_{cb}^3}{3}\rho_w ,\] где ускорение фронта воды, сходящегося к центру ПП, \[a = \frac{2R_{cb}}{t_2^2} = 2R_{cb}\nu_2^2 .\] Радиальное давление на поверхность ПП \[\Delta P = \frac{F_{collap}}{4\pi R_{cb}^2} = \frac{2R_{cb}^2}{3}\rho_w\nu_2^2 .\] В частности, для полученных данных эксперимента ЭАШ получаем \[R_{cb} = \frac{1}{\nu_2}\sqrt{\frac{3\Delta P}{2\rho_w}}.\] В частности, \[\nu_2 \approx 1\text{ кГц},\quad \Delta P = 3\text{ кПа} \;\Rightarrow\; R_{cb} \approx 3\text{ мм}.\] Этот результат хорошо согласуется с другим экспериментом (см. рис. 5), где радиус оказался около 3,5 мм, а время схлопывания — около 1 мс (т. е. шум \(\sim\)1 кГц).
Рис. 5. Эволюция схлопывающегося пузырька пара [M. P. Brenner, S. Hilgenfeldt, D. Lohse, Rev. Mod. Phys. 74, 425 (2002)]. На рисунке: BUBBLE RADIUS (mm) — радиус пузырька (мм), PRESSURE \(P(t)\) (\(10^5\) Pa) — давление \(P(t)\) (\(10^5\) Па), TIME (ms) — время (мс).
S7. Очевидно, физическая природа МПВ та же, что и у ПП. Тогда \[\frac{\nu_3}{\nu_2} = \frac{R_{cb}}{R_{mab}} \;\Rightarrow\; R_{mab} = R_{cb}\frac{1\text{ кГц}}{35\div60\text{ кГц}} \approx \frac{3\text{ мм}}{35\div60} \approx 0{,}05\div0{,}086\text{ мм}.\]
S8. Пузырёк, оторвавшийся от дна, поднимается под действием силы Архимеда. Сила сопротивления воды зависит от характера обтекания (рис. 1, 6, 7).
Рис. 6. Прямолинейная траектория пузырька воздуха (\(R = 0{,}69\) мм), всплывающего со дна. Слева — вид в плоскости XZ, справа — в плоскости YZ. Тёмные области — части системы отсчёта вне резервуара с водой [Benjamin (1987), A. de Vries (2001)].
Но для пузырька радиусом около 1 мм ламинарная скорость всплытия оказывается слишком большой: \[v_{lam} \approx 2{,}2\text{ м/с},\] и пузырёк проходит 10 см до поверхности за 0,045 секунды!!! Это явно неверно. Следовательно, формула Стокса неприменима для ВП и ПП, поднимающихся со дна.
S9. При возникновении неустойчивости траектории пузырёк может всплывать либо зигзагом, либо по спирали (рис. 8).
Рис. 7. Траектория пузырька, поднимающегося по спирали, в двух перпендикулярных проекциях XZ и YZ (\(R = 1{,}1\) мм) [Benjamin (1987), Antoine de Vries (2001)].
Очевидно, подъёмная сила \[F_A = \frac{4\pi R_{vb}^3}{3}g\rho_w .\] Поднимаясь на высоту \(h\), пузырёк вытесняет порцию воды массы \[M_{turb} = \rho_wh\cdot\pi R_{vb}^2\] и совершает работу (передаёт кинетическую энергию) \[W_{dissip} = \frac{M_{turb}v_{turb}^2}{2}.\] Тогда оцениваем диссипативную силу: \[F_{dissip} = \frac{W_{dissip}}{h} = \frac{M_{turb}v_{turb}^2}{2h}.\] Поскольку ПП движется равномерно, без ускорения, диссипативная (тормозящая) сила уравновешивает силу Архимеда: \[F_{dissip} = F_A .\] Тогда средняя (для спирального движения) турбулентная скорость \[v_{turb} \approx \sqrt{\frac{8gR_{vb}}{3}}.\] Для типичного радиуса всплывающего ВП (\(\sim\)1 мм) или схлопывающегося ПП (\(\sim\)3 мм) вычисляем скорость \[v_{turb} \approx \sqrt{\frac{8\cdot10\cdot(1\div3)\cdot10^{-3}}{3}}\text{ м/с} \approx (0{,}16\div0{,}28)\text{ м/с}.\] Время прохождения расстояния \(H \sim\) 10 см: \[t_{turb} > \frac{H}{v_{turb}} \approx \frac{0{,}1}{(0{,}16\div0{,}28)}\text{ с} \approx (0{,}35\div0{,}62)\text{ с}.\] Это вполне разумный результат, и пузырьки в основном поднимаются по закону турбулентного течения.
Похожие задачи
- Поверхностное натяжение по каплям ВсОШ 1992/2001, 10 кл.
- Поверхностное натяжение капли ВсОШ 1992/2001, 10 кл.
- Размер капли IEPhO 2015/16, 8 кл.
- Размер капли IEPhO 2015/16, 9 кл.
- Соломинка на поверхности воды Ведомственная 2016/17, 11 кл.
- Соломинка на поверхности воды Ведомственная 2016/17, 9 кл.