Как покинуть Солнечную систему

Для ухода из Солнечной системы полная энергия зонда относительно Солнца должна быть неотрицательной. При пролёте Марса в системе отсчёта Марса модуль скорости зонда сохраняется — это упругое «столкновение» с планетой; между орбитами Земли и Марса работают законы сохранения энергии и момента импульса.

а) Необходимое условие того, что космический зонд покинет Солнечную систему, — сумма его кинетической и потенциальной энергии в гравитационном поле Солнца должна быть больше нуля или равна нулю: \[\frac{1}{2}mv_a^2 - \frac{GmM}{R_E} \ge 0,\] где \(m\) — масса зонда, \(v_a\) — его скорость относительно Солнца, \(M\) — масса Солнца, \(R_E\) — расстояние от Земли до Солнца, \(G\) — гравитационная постоянная. Используя выражение для скорости Земли \(v_E = \sqrt{GM/R_E}\), можно исключить из этого условия \(G\) и \(M\): \[v_a^2 \ge \frac{2GM}{R_E} = 2v_E^2.\] Пусть \(v_a'\) — скорость запуска относительно Земли, \(\vartheta\) — угол между \(\vec v_E\) и \(\vec v_a'\) (см. рис.).

Тогда из \(\vec v_a = \vec v_a' + \vec v_E\) и \(v_a^2 = 2v_E^2\) следует \[{v_a'}^2 + 2v_a'v_E\cos\vartheta - v_E^2 = 0\] и \[v_a' = v_E\left[-\cos\vartheta + \sqrt{1 + \cos^2\vartheta}\right].\] Минимальная скорость получается при \(\vartheta = 0\): \[v_a' = v_E(\sqrt{2} - 1) = 12{,}3~\text{км/с}.\]

б) Пусть \(v_b'\) и \(v_b\) — скорости запуска зонда в системах отсчёта Земли и Солнца соответственно. Для решения (а) \(v_b = v_b' + v_E\). Из сохранения момента импульса зонда \[mv_bR_E = mv_\parallel R_M\] и сохранения энергии \[\frac{1}{2}mv_b^2 - \frac{GmM}{R_E} = \frac{1}{2}m\left(v_\parallel^2 + v_\perp^2\right) - \frac{GmM}{R_M}\] получаем для параллельной составляющей скорости (см. рис.) \[v_\parallel = (v_b' + v_E)k,\] а для перпендикулярной составляющей \[v_\perp = \sqrt{(v_b' + v_E)^2(1 - k^2) - 2v_E^2(1 - k)},\] где \(k = R_E/R_M\).

в) Минимальная скорость зонда в системе отсчёта Марса, при которой он покинет Солнечную систему, равна \(v_s'' = v_M(\sqrt{2} - 1)\) и направлена параллельно орбите Марса (\(v_M\) — скорость Марса вокруг Солнца). Следовательно, роль Марса — изменить скорость зонда так, чтобы тот покинул гравитационное поле Марса с этой скоростью.

В системе отсчёта Марса энергия зонда сохраняется. Однако это неверно в системе отсчёта Солнца, в которой такое сближение можно рассматривать как упругое столкновение Марса и зонда. Поэтому скорость зонда до входа в гравитационное поле Марса в системе отсчёта Марса равна скорости, с которой зонд покидает его гравитационное поле. Составляющие первой из этих скоростей \(v_\perp'' = v_\perp\) и \(v_\parallel'' = v_\parallel - v_M\), откуда \[v'' = \sqrt{{v_\parallel''}^2 + {v_\perp''}^2} = \sqrt{v_\perp^2 + (v_\parallel - v_M)^2} = v_s''.\] Используя выражения для \(v_\perp\) и \(v_\parallel\) из (б), теперь можно найти связь между скоростью запуска с Земли \(v_b'\) и скоростью \(v_s''\), \(v_s'' = v_M(\sqrt{2} - 1)\): \[(v_b' + v_E)^2(1 - k^2) - 2v_E^2(1 - k) + (v_b' + v_E)^2k^2 - 2v_M(v_b' + v_E)k = v_M^2(2 - 2\sqrt{2}).\] Скорость Марса вокруг Солнца \(v_M = \sqrt{GM/R_M} = \sqrt{k}\,v_E\), и уравнение для \(v_b'\) принимает вид \[(v_b' + v_E)^2 - 2\sqrt{k}^{\,3}v_E(v_b' + v_E) + (2\sqrt{2}\,k - 2)v_E^2 = 0.\] Физически значимое решение: \[v_b' = v_E\left[\sqrt{k}^{\,3} - 1 + \sqrt{k^3 + 2 - 2\sqrt{2}\,k}\right] = 5{,}5~\text{км/с}.\]

г) Относительная экономия энергии \[\frac{W_a - W_b}{W_a} = \frac{{v_a'}^2 - {v_b'}^2}{{v_a'}^2} = 0{,}80,\] где \(W_a\) и \(W_b\) — энергии запуска по схеме (i) и по схеме (ii) соответственно.