Тоннель в астероиде

Пусть \(R\), \(M\) и \(\rho\) — соответственно радиус, масса и плотность астероида, \(v_1\) — первая космическая скорость, \(G\) — гравитационная постоянная, \(m\) — масса камня.

Период обращения будет минимальным при движении по круговой орбите радиуса \(R\). Можно показать, что \[T_0 = \sqrt{3\pi/G\rho}.\] Сила, действующая на летящий по тоннелю камень, на расстоянии \(x\) от центра астероида равна \(F = \dfrac{4}{3}\pi G\rho mx\). Движение в тоннеле — часть колебательного движения с циклической частотой \[\omega = \sqrt{(4/3)\pi G\rho}\] и периодом \[T = 2\pi/\omega = \sqrt{3\pi/G\rho}.\] Оказалось, что \(T = T_0\). Скорость камня в тоннеле меняется по закону \(v = v_0\sin\omega t\), где \(v_0\) — скорость камня в центре астероида. Если \(F_1\) — сила, действующая на камень на поверхности астероида, то по закону сохранения энергии \(\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{mv_1^2}{2} + \dfrac{F_1R}{2}\). Так как \(F_1 = m\dfrac{v_1^2}{R}\), то \(v_0 = v_1\sqrt2\). Итак, \(v = v_1\sqrt2\,\sin\omega t\). На поверхности \(v = v_1\), следовательно, \(\sin\omega t_{01} = \dfrac{1}{\sqrt2}\). Отсюда время движения камня от поверхности астероида до центра \(t_{01} = \dfrac{\pi}{4\omega} = \dfrac{T_0}{8}\).

Время движения камня в тоннеле \(t_1 = 2t_{01} = \dfrac{T_0}{4}\).

Траекторию движения камня вне астероида можно представить как часть вырожденного (очень узкого) эллипса с большой полуосью \(a\) и малой полуосью \(b\), причем \(b \to 0\) (рис. 136). Чтобы найти \(a\), воспользуемся законом сохранения энергии \[\dfrac{1}{2}mv_1^2 - \dfrac{GmM}{R} = \dfrac{-GmM}{2a}\] и условием движения по окружности радиуса \(R\) \[\dfrac{mv_1^2}{R} = \dfrac{GmM}{R^2}.\] Получим, что \(a = R\). Следовательно, в соответствии с третьим законом Кеплера, период движения по этому эллипсу равен периоду \(T_0\) обращения по круговой орбите радиуса \(R\). При движении на участке \(ABC\) радиус-вектор, проведенный из центра астероида к камню, «заметает» площадь \(S\), заштрихованную на рисунке и равную сумме площадей половины эллипса и треугольника \(AOC\): \[S = \dfrac{\pi Rb}{2} + \dfrac{2bR}{2} = \dfrac{(\pi + 2)bR}{2}.\] По второму закону Кеплера \[\dfrac{t_2}{T_0} = \dfrac{S}{\pi ab}.\] Итак, время движения на участке \(ABC\) равно \[t_2 = \dfrac{T_0S}{\pi ab} = \dfrac{T_0(\pi + 2)}{2\pi}.\] Для возвращения в исходную точку камень должен еще раз пролететь сквозь тоннель. Таким образом, он возвратится через время \[\tau = t_1 + t_2 + t_1 = \dfrac{T_0(2\pi + 2)}{2\pi}.\]