Электроны в сгустки

Пусть \(e\) и \(m\) — соответственно заряд и масса электрона, \(\Delta v\) — изменение скорости электрона в результате пролета сквозь сетки.

За счет совершения работы электрическим полем над электроном изменяется его кинетическая энергия: \(eU_0\sin\omega t = mv_0\Delta v\). Отсюда \[\Delta v = \dfrac{eU_0}{mv_0}\sin\omega t = u_0\sin\omega t,\] где \(u_0 = \dfrac{eU_0}{mv_0} = \dfrac{\gamma U_0}{v_0}\).

Перейдем в систему отсчета \(K\), движущуюся со скоростью \(v_0\) в направлении движения электронов. Начало координат системы \(K\) свяжем с теми электронами, которые проходят сквозь сетки в те моменты, когда под действием электрического поля их ускорение меняет знак (\(\sin\omega t = 0\)). Направим ось \(X\) этой системы по направлению ее движения. В \(K\)-системе электроны, прошедшие сквозь сетки, будут иметь различную скорость в зависимости от координаты \(x\). Скорость изменяется от \(-u_0\) до \(u_0\) с пространственным периодом \(H = v_02\pi/\omega\) по закону \(u = -u_0\sin(x\omega/v_0)\). В точках с координатами \(X = 0, \pm H, \pm2H, \pm3H, \ldots\) электроны неподвижны. Электроны, скорость которых отлична от нуля, будут приближаться к неподвижным электронам, причем более быстрые электроны будут догонять более медленные. Таким образом, вблизи точек, где электроны неподвижны, концентрация электронов будет увеличиваться и начнут образовываться электронные сгустки. В этих областях, т. е. там, где \(u\) близко к нулю, \(u \approx -u_0x\omega/v_0\). Получилось, что скорость электронов, ближайших к областям сгущения, пропорциональна расстоянию от них до этих точек. Это означает, что эти электроны попадут в области сгущения почти одновременно через время \(t_0 = x/|u| = v_0/u_0\omega\) после пролета сквозь сетки. Таким образом, можно приближенно считать, что сгустки появятся на расстоянии \[L = v_0t_0 = \dfrac{v_0^2}{u_0\omega} = \dfrac{v_0^3}{\gamma\omega U_0}\] от сеток.