Шарик в поле и обратно

Ясно, что для выполнения условий задачи шарик после попадания в поле должен выталкиваться из него — в противном случае он никогда не покинет область поля и, следовательно, не сможет вернуться в исходную точку. Предположим далее, что плоскость траектории шарика до его попадания в поле перпендикулярна границе области, в которой имеется поле. Тогда для выполнения условий задачи необходимо, как минимум, чтобы силовые линии поля были также перпендикулярны границе указанной области. Действительно, если бы силовые линии были направлены под углом к границе области, в которой имеется поле, то шарик за время движения в поле приобрёл бы «боковую» составляющую скорости, направленную вдоль этой границы (перпендикулярно плоскости начальной траектории), и не смог бы вернуться в исходную точку. Пусть теперь плоскость траектории шарика до его попадания в поле составляет с границей области, в которой имеется поле, некоторый угол. Тогда, очевидно, для выполнения условий задачи необходимо, как минимум, чтобы силовые линии поля составляли с границей области поля точно такой же угол — в противном случае у шарика опять же появится «боковая» составляющая скорости, перпендикулярная плоскости начальной траектории, и шарик не сможет упасть в исходную точку. Таким образом, мы доказали, что в любом случае траектория шарика как до, так и после его попадания в поле лежит в вертикальной плоскости, параллельной силовым линиям поля. При этом данная плоскость может составлять некоторый угол с границей области, в которой имеется поле.

Теперь выясним, каким образом должен двигаться шарик в электрическом поле. Разложим вектор скорости шарика в момент его попадания в поле на две составляющие — горизонтальную, параллельную силовым линиям, и вертикальную. Так как электрическое поле потенциально, то горизонтальная составляющая скорости шарика при его вылете из поля сохранит величину и изменит знак по сравнению с горизонтальной составляющей в момент попадания шарика в поле. Значит, время, проходящее от момента броска шарика до его попадания в поле, равно времени, проходящему от момента вылета шарика из поля до его падения, и равно отношению расстояния \(L\) к величине горизонтальной составляющей скорости. С другой стороны, это время равно времени подъёма шарика в поле тяжести от места броска до уровня точки пересечения границы поля, а также времени движения от данной точки до точки падения. В силу потенциальности поля тяжести вертикальная составляющая скорости шарика при его движении вверх и вниз на одной и той же высоте одинакова, а с ростом высоты уменьшается. Поэтому, если бы шарик вылетел из поля выше точки его попадания в поле, то время движения вниз до точки падения было бы больше, а если ниже — то меньше упомянутого выше времени подъёма шарика от точки броска до точки его попадания в поле. Следовательно, для того, чтобы шарик упал в исходную точку, необходимо, чтобы вертикальная составляющая скорости шарика за время его нахождения в поле также изменила знак и сохранила свою величину, причём точки попадания шарика в поле и его вылета из поля должны совпадать. Это возможно только в том случае, когда шарик в поле движется по прямой линии, вдоль которой направлен вектор действующей на шарик суммарной силы \(m\vec g + q\vec E\).

Итак, мы доказали следующие утверждения. Для того, чтобы шарик мог вернуться в исходную точку, необходимо, чтобы он после вылета из электрического поля двигался назад по той же траектории, по которой он летел от момента броска до попадания в электрическое поле. Это возможно лишь в том случае, если траектория шарика всё время лежит в плоскости, параллельной силовым линиям электрического поля, причём они должны быть направлены так, чтобы выталкивать шарик из поля.

Для дальнейшего решения задачи введём прямоугольную систему координат с началом в точке броска шарика, поместим её в плоскость траектории шарика и направим координатную ось \(X\) вдоль поверхности земли (антипараллельно линиям электрического поля), а ось \(Y\) — вверх. Пусть шарик влетает в электрическое поле, имея проекции скорости \(v_x\) и \(v_y\). При вылете из поля проекции скорости, как мы уже выяснили, должны остаться прежними по величине и изменить свой знак. Так как шарик движется в поле вдоль оси \(X\) с постоянным ускорением \(-qE/m\), а вдоль оси \(Y\) — с ускорением свободного падения \(-g\), то для проекций его скорости в момент вылета из поля можно записать: \[-v_x = v_x - \dfrac{qE}{m}t;\quad -v_y = v_y - gt,\] где \(t\) — время полёта шарика в электрическом поле. Из этих соотношений получаем: \[E = \dfrac{mg}{q}\cdot\dfrac{v_x}{v_y}.\] Пусть от момента броска шарика до его попадания в электрическое поле прошло время \(\tau\). Тогда из уравнений кинематики получаем: \[v_x = v\cos\alpha,\quad v_y = v\sin\alpha - g\tau,\quad L = v_x\tau = v\cos\alpha\cdot\tau.\] Исключая из двух последних уравнений \(\tau\), получаем выражение для проекции скорости \(v_y\): \[v_y = v\sin\alpha - \dfrac{gL}{v\cos\alpha}.\] Подставляя \(v_x\) и \(v_y\) в выражение для \(E\) и учитывая, что \(\alpha = 45^\circ\), находим: \[E = \dfrac{mg}{q}\cdot\dfrac{v_x}{v_y} = \dfrac{mg}{q}\cdot\dfrac{v\cos\alpha}{v\sin\alpha - \dfrac{gL}{v\cos\alpha}} =\] \[= \dfrac{mg}{q}\cdot\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha - \dfrac{gL}{(v\cos\alpha)^2}} = \dfrac{mg}{q}\cdot\dfrac{1}{1 - \dfrac{2gL}{v^2}}.\] Из этого выражения видно, что решение задачи существует при условии \(v > \sqrt{2gL}\). Данное условие означает, что шарик должен влетать в электрическое поле прежде, чем достигнет наивысшей точки своей траектории при полёте вне поля. Из формулы для \(E\), кроме того, следует, что при движении, удовлетворяющем условиям задачи, справедливо соотношение \(\dfrac{mg}{qE} = \dfrac{v_y}{v_x}\), которое и означает, что в момент попадания шарика в электрическое поле его скорость направлена вдоль суммарной силы, действующей на шарик в электрическом поле и поле силы тяжести. Следовательно, шарик движется в поле с ускорением вдоль прямой, составляющей с горизонталью угол \[\psi = \operatorname{arctg}\dfrac{mg}{qE} = \operatorname{arctg}\dfrac{v_y}{v_x} = \operatorname{arctg}\left(1 - \dfrac{2gL}{v^2}\right).\] Следует отметить, что в общем случае движение заряженного шарика во взаимно перпендикулярных однородных гравитационном и электрическом полях происходит по параболе, которая в данном случае вырождается в прямую.