Шарик и движущийся цилиндр

Перейдём в систему отсчёта, связанную с движущимся цилиндром. В ней перед ударом шарик движется со скоростью \(\vec v + \vec u\) (см. рисунок).

Так как цилиндр гладкий и между ним и шариком не действуют силы трения, то углы между нормалью к поверхности цилиндра в месте удара и направлениями движения шарика до и после удара одинаковы. Следовательно, после удара о цилиндр шарик в движущейся системе отсчёта будет двигаться с той же по модулю скоростью \(\vec v + \vec u\) под углом \(\beta = \pi - 2\alpha\) к направлению исходного движения, причём \(\cos\alpha = L/R\).

Вернёмся обратно в неподвижную систему отсчёта, связанную с землёй. В ней скорость шарика после удара \(\vec v_1\) будет представлять собой векторную сумму скорости \(\vec u\) цилиндра относительно земли и скорости \(\vec v + \vec u\) шарика относительно цилиндра (см. рисунок). Используя теорему косинусов, получим: \[v_1^2 = u^2 + (v + u)^2 - 2u(v + u)\cos 2\alpha =\] \[= v^2 + 2u^2(1 - \cos 2\alpha) + 2uv(1 - \cos 2\alpha) =\] \[= v^2 + 2u(u + v)(1 - \cos 2\alpha) = v^2 + 4u(u + v)(1 - \cos^2\alpha).\] С учётом выражения для \(\cos\alpha\) окончательно получаем: \[v_1 = \sqrt{v^2 + 4u(u + v)\left(1 - \dfrac{L^2}{R^2}\right)}.\]