Частица в поле

Подсказка

Движение частицы — винтовая линия: равномерное вдоль поля и по окружности поперёк; радиус кривизны траектории связан с обеими составляющими скорости.

Ответ

1) \(mv \leqslant qBR\);  2) \(l \approx vt\sqrt{1 - \dfrac{m^2v^2}{q^2B^2R^2}}\);  3) \(t \gg \dfrac{m^2v}{q^2B^2R}\left(1 - \dfrac{m^2v^2}{q^2B^2R^2}\right)^{-1/2}\);  4) \(L = \sqrt{\left(1 - \dfrac{m^2v^2}{q^2B^2R^2}\right)v^2t^2 + \dfrac{4m^4v^4}{q^4B^4R^2}\sin^2\left(\dfrac{qB}{2m}t\right)}\).

Решение

Заряженная частица движется в однородном магнитном поле по винтовой линии в результате сложения двух движений: движения вдоль поля с постоянной скоростью \(v_\parallel\) и движения в перпендикулярной полю плоскости по окружности радиусом \(r\) с постоянной скоростью \(v_\perp\).

1. Частица движется под действием силы Лоренца \(F = qv_\perp B\), поэтому из второго закона Ньютона \(F = ma\) выразим ускорение \(a\) частицы: \[a = \dfrac{qv_\perp B}{m}. \tag{1}\] Подставив полученное выражение в формулу центростремительного ускорения \(a = v^2/R\), получим составляющую скорости частицы поперёк поля: \[v_\perp = \dfrac{mv^2}{qBR}. \tag{2}\] По теореме Пифагора \(v^2 = v_\parallel^2 + v_\perp^2\) находим составляющую скорости частицы вдоль поля: \[v_\parallel = v\sqrt{1 - \dfrac{m^2v^2}{q^2B^2R^2}}.\] Исходные данные непротиворечивы, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть при условии \(mv \leqslant qBR\).

2. Движение по окружности ограничено, поэтому его вкладом в общее перемещение через большое время можно пренебречь по сравнению с перемещением вдоль поля, откуда следует оценка для искомого смещения: \[l \approx v_\parallel t = vt\sqrt{1 - \dfrac{m^2v^2}{q^2B^2R^2}}. \tag{3}\] 3. В инерциальной системе отсчёта, движущейся со скоростью \(v_\parallel\) вдоль поля, частица движется по окружности радиусом \(r\) с постоянной скоростью \(v_\perp\) и тем же ускорением \(a\), поэтому из формулы центростремительного ускорения \(a = v_\perp^2/r\) после подстановки выражений для \(a\) и \(v_\perp\) находим радиус окружности: \[r = \dfrac{v_\perp^2}{a} = \dfrac{mv_\perp}{qB} = \dfrac{m^2v^2}{q^2B^2R}. \tag{4}\] Использованное при поиске \(l\) приближение корректно, когда \(l \gg r\), откуда после подстановки выражений для \(l\) и \(r\) находим критерий применимости: \[t \gg \dfrac{m^2v}{q^2B^2R}\left(1 - \dfrac{m^2v^2}{q^2B^2R^2}\right)^{-1/2}.\]

4. Для нахождения \(L\) нужно учесть поперечное смещение частицы. За время \(t\) она сместится вдоль окружности на угол \(\varphi = v_\perp t/r\). Хорда, стягивающая эту дугу, имеет длину \[l_\perp = 2r\left|\sin\dfrac{\varphi}{2}\right| = \dfrac{2m^2v^2}{q^2B^2R}\left|\sin\left(\dfrac{qB}{2m}t\right)\right|.\] По теореме Пифагора находим общее смещение: \[L = \sqrt{l^2 + l_\perp^2} = \sqrt{\left(1 - \dfrac{m^2v^2}{q^2B^2R^2}\right)v^2t^2 + \dfrac{4m^4v^4}{q^4B^4R^2}\sin^2\left(\dfrac{qB}{2m}t\right)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.