Электромагнитная фольга

Подсказка

Электростатическое притяжение пропорционально квадрату напряжения между полосками, а магнитное отталкивание — квадрату силы тока; найдите оба коэффициента из двух известных случаев.

Ответ

1) \(F_3 = \dfrac{R^2F_1 - r^2F_2}{(R + r)^2}\);  2) \(R = r\sqrt{\dfrac{F_2}{F_1}}\).

Решение

Если к клеммам ничего не подключено, то тока в цепи нет и полоски притягиваются за счёт электростатической силы, прямо пропорциональной их зарядам, которые сами пропорциональны приложенному напряжению, так как полоски могут рассматриваться как обкладки конденсатора. Пусть \(\mathcal{E}\) — ЭДС источника, а \(a\) — некоторый коэффициент, тогда можно записать уравнение \[F_1 = a\mathcal{E}^2. \tag{1}\] Если клеммы замкнуты накоротко, то заряды не накапливаются и полоски отталкиваются за счёт магнитной силы, прямо пропорциональной текущим по ним токам, которые определяются законом Ома. Таким образом, используя некоторый коэффициент \(b\), можно записать уравнение \[F_2 = b\left(\dfrac{\mathcal{E}}{r}\right)^2. \tag{2}\] Если к клеммам подключен резистор, то наблюдаются и электростатическое, и магнитное взаимодействия. Согласно закону Ома сила тока \(I\) в цепи и напряжение \(U\) между полосками имеют соответственно вид \[I = \dfrac{\mathcal{E}}{r + R},\qquad U = RI = \dfrac{R\mathcal{E}}{r + R}. \tag{3}\] Используя те же коэффициенты \(a\) и \(b\) и считая силу притяжения положительной, можно записать уравнение \[F_3 = aU^2 - bI^2,\] откуда после подстановки выражений для \(U\) и \(I\) из формул для \(I\) и \(U\) и значений коэффициентов \(a\) и \(b\) из уравнений для \(F_1\) и \(F_2\) находим искомую силу: \[F_3 = \dfrac{F_1}{\mathcal{E}^2}\cdot\left(\dfrac{R\mathcal{E}}{r + R}\right)^2 - \dfrac{F_2r^2}{\mathcal{E}^2}\cdot\left(\dfrac{\mathcal{E}}{r + R}\right)^2 = \dfrac{R^2F_1 - r^2F_2}{(R + r)^2}. \tag{4}\]

Чтобы ответить на второй вопрос задачи, приравняем выражение для \(F_3\) к нулю, откуда найдём искомое сопротивление, при котором электрическое и магнитное взаимодействия компенсируются: \[R = r\sqrt{\dfrac{F_2}{F_1}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.