Поочерёдное заземление

Подсказка

При заземлении потенциал обкладки становится равным нулю (потенциалу бесконечности): из этого условия выражайте заряд обкладки через заряд другой после каждого шага.

Ответ

\(q_n = -\left(\dfrac{r}{R}\right)^n\cdot\dfrac{RrU_0}{k(R - r)}\),  \(Q_n = \left(\dfrac{r}{R}\right)^n\cdot\dfrac{RrU_0}{k(R - r)}\) (если \(Q_0 > 0\), \(q_0 < 0\); иначе знаки меняются).

Решение

Пусть \(q_0\) и \(Q_0\) — начальные заряды на внутренней и внешней обкладках соответственно, тогда из условия электронейтральности конденсатора \(q_0 = -Q_0\). Выразим напряжение между обкладками как разность их потенциалов: \[U_0 = \varphi_0^{\text{внеш}} - \varphi_0^{\text{внутр}} = \left(\dfrac{kQ_0}{R} + \dfrac{kq_0}{R}\right) - \left(\dfrac{kQ_0}{R} + \dfrac{kq_0}{r}\right) = kq_0\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right) = kQ_0\left(\dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{R}\right),\] откуда \[Q_0 = \dfrac{Rr}{k(R - r)}\cdot U_0. \tag{1}\]

При заземлении проводника его потенциал становится равным потенциалу бесконечно удалённого тела, который в соответствии с формулой \(\varphi(x) = kq/x\) равен нулю. Следовательно, заряд обкладки после каждого заземления можно найти из условия равенства нулю её потенциала: \[\begin{aligned} \varphi_1^{\text{внутр}} &= \dfrac{kQ_0}{R} + \dfrac{kq_1}{r} = 0, & \text{откуда}\quad q_1 &= -\dfrac{r}{R}Q_0;\\ \varphi_1^{\text{внеш}} &= \dfrac{kQ_1}{R} + \dfrac{kq_1}{R} = 0, & \text{откуда}\quad Q_1 &= -q_1 = \dfrac{r}{R}Q_0. \end{aligned}\] Расчёт зарядов после второй пары заземлений полностью аналогичен: \[\begin{aligned} \varphi_2^{\text{внутр}} &= \dfrac{kQ_1}{R} + \dfrac{kq_2}{r} = 0, & \text{откуда}\quad q_2 &= -\dfrac{r}{R}Q_1 = -\left(\dfrac{r}{R}\right)^2Q_0;\\ \varphi_2^{\text{внеш}} &= \dfrac{kQ_2}{R} + \dfrac{kq_2}{R} = 0, & \text{откуда}\quad Q_2 &= -q_2 = \left(\dfrac{r}{R}\right)^2Q_0. \end{aligned}\] Обобщая результаты для \(n\) пар заземлений и подставляя выражение для \(Q_0\), окончательно получим \[q_n = -\left(\dfrac{r}{R}\right)^n\cdot\dfrac{RrU_0}{k(R - r)},\qquad Q_n = \left(\dfrac{r}{R}\right)^n\cdot\dfrac{RrU_0}{k(R - r)}.\] Отметим, что в условии не сказано, какая из обкладок была изначально заряжена положительно, а какая — отрицательно. В решении мы предположили, что \(Q_0 > 0\), а \(q_0 < 0\). Если же это не так, то все ответы поменяют знаки.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.