Треугольная пластина

Силу на пробный заряд в точке \(O\) можно выразить через поток его поля через пластину; сама пластина вместе с точкой \(O\) удобно вписывается в угол куба, и поток находится по теореме Гаусса.

\(E = \dfrac{\sigma}{8\varepsilon_0}\).

Общая формула. Сперва выведем полезную общую формулу \[F_\perp = \sigma\Phi, \tag{1}\] где \(\sigma\) — поверхностная плотность заряда равномерно заряженной пластины, \(\Phi\) — поток внешнего электрического поля (не обязательно однородного) через пластину, \(F_\perp\) — перпендикулярная пластине проекция силы, действующей на пластину со стороны внешнего электрического поля.

На малый кусочек пластины, имеющий площадь \(dS\) и заряд \(dq = \sigma\,dS\), действует перпендикулярно пластине сила \(dF_\perp = E_\perp\,dq\). Интегрирование \(dF_\perp\) по всей пластине площадью \(S\) с использованием определения потока \(\Phi\) даёт заявленную формулу: \[F_\perp = \int\limits_S dF_\perp = \sigma\int\limits_S E_\perp\,dS = \sigma\Phi.\] Решение задачи. Поместим в точку \(O\) пробный заряд \(q\) и запишем искомую напряжённость в виде \(E = F/q\), где \(F\) — сила, действующая на пробный заряд со стороны пластины. По третьему закону Ньютона такая же по модулю сила \(F\) действует на пластину со стороны пробного заряда. В силу симметрии системы относительно поворота на угол \(2\pi/3\) вокруг оси, проходящей через точку \(O\) и центр пластины, сила \(F\) направлена вдоль этой оси, откуда следует равенство \(F = F_\perp\). С учётом формулы для \(F_\perp\) получаем выражение \[E = \dfrac{\sigma\Phi}{q}, \tag{2}\] где \(\Phi\) — поток электрического поля пробного заряда через пластину.

Заметим, что пластину и пробный заряд можно разместить внутри и на поверхности куба так, как показано на рисунке. Поскольку 8 касающихся кубов с общей вершиной \(O\) полностью окружают заряд \(q\), поток \(\Phi\) составляет \(1/8\) долю суммарного потока \(\Phi_0\) от заряда \(q\), который согласно теореме Гаусса имеет вид \(\Phi_0 = q/\varepsilon_0\).

Подстановка выражения \(\Phi = q/(8\varepsilon_0)\) в формулу для \(E\) даёт окончательный ответ: \[E = \dfrac{\sigma}{8\varepsilon_0}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.