Неопределившийся шарик

Подсказка

Составляющая скорости вдоль плит не меняется при ударах; продольное движение удобно рассмотреть в системе отсчёта, где плиты сближаются с равными скоростями, и найти рекуррентную связь расстояний между плитами.

Ответ

1) \(S_\infty = \dfrac{L_0}{u_1 - u_2}\sqrt{u_1^2 + u_0^2\sin^2\varphi}\);  2) \(S_n = \dfrac{L_0\sqrt{\bigl(u_1n + (u_0\cos\varphi - u_1)(n \bmod 2)\bigr)^2 + n^2u_0^2\sin^2\varphi}}{u_0\cos\varphi - u_1 + (u_1 - u_2)n}\).

Решение

1. Поскольку при соударениях шарика с плитами трения нет, составляющая скорости шарика, перпендикулярная направлению движения плит, будет оставаться постоянной: \[v_\perp = u_0\sin\varphi.\] По мере сближения плит соударения шарика будут происходить всё чаще и их количество будет неограниченно расти, поэтому величину \(S_\infty\) можно найти, рассмотрев ситуацию, когда расстояние между плитами станет пренебрежимо мало, то есть плиты почти столкнутся, из чего находим смещение \(x_\infty\) догоняющей плиты к моменту \(t_\infty\) их встречи: \[t_\infty = \dfrac{L_0}{u_1 - u_2},\qquad x_\infty = u_1t_\infty = \dfrac{L_0u_1}{u_1 - u_2}.\] Смещение шарика в поперечном направлении имеет вид \[y_\infty = v_\perp t_\infty = \dfrac{L_0u_0\sin\varphi}{u_1 - u_2}.\] Ответ на первый вопрос получаем по теореме Пифагора: \[S_\infty = \sqrt{x_\infty^2 + y_\infty^2} = \dfrac{L_0}{u_1 - u_2}\sqrt{u_1^2 + u_0^2\sin^2\varphi}.\] 2. Для упрощения расчётов перейдём в систему отсчёта, движущуюся в направлении движения плит со скоростью \(v_c = (u_1 + u_2)/2\) и будем рассматривать пока только продольное движение шарика. В новой системе отсчёта плиты сближаются с одинаковыми по модулю скоростями \(u = (u_1 - u_2)/2\), а шарик имеет начальную скорость \(v_0 = u_0\cos\varphi - v_c\).

Пусть \(v_n\) — модуль скорости шарика сразу после \(n\)-го соударения, тогда из условия упругости удара (модуль скорости шарика относительно плиты не изменяется в результате удара) можно записать рекуррентное соотношение \[v_n = v_{n-1} + 2u,\] из которого следует общая формула \[v_n = v_0 + 2un.\] Пусть \(L_n\) — расстояние между плитами сразу после \(n\)-го соударения, \(\tau_n\) — длительность движения шарика со скоростью \(v_n\), то есть промежуток времени между соударениями с номерами \(n\) и \(n + 1\), тогда из формул для равномерного движения можно записать следующие уравнения: \[\tau_n = \dfrac{L_n}{v_n + u} = \dfrac{L_n}{v_0 + 2un + u}, \tag{1}\] \[L_n = L_{n-1} - 2u\tau_{n-1} = L_{n-1} - \dfrac{2uL_{n-1}}{v_0 + 2un - u} = L_{n-1}\cdot\dfrac{v_0 + 2un - 3u}{v_0 + 2un - u}.\] Применим последнюю формулу, последовательно выражая \(L_n\) через \(L_{n-1}\), потом \(L_{n-1}\) через \(L_{n-2}\) и так далее до \(L_1 = L_0(v_0 - u)/(v_0 + u)\): \[L_n = \dfrac{v_0 + 2un - 3u}{v_0 + 2un - u}\cdot\dfrac{v_0 + 2un - 5u}{v_0 + 2un - 3u}\cdot\ldots\cdot\dfrac{v_0 + u}{v_0 + 3u}\cdot\dfrac{v_0 - u}{v_0 + u}\cdot L_0,\] откуда после сокращения получаем общую формулу \[L_n = \dfrac{(v_0 - u)L_0}{v_0 + 2un - u}. \tag{2}\]

Подставив выражение для \(L_n\) в равенство для \(\tau_n\), получаем общую формулу \[\tau_n = \dfrac{(v_0 - u)L_0}{(v_0 + 2un - u)(v_0 + 2un + u)},\] которую перепишем в более удобном для суммирования виде: \[\tau_n = \dfrac{(v_0 - u)L_0}{2u}\left(\dfrac{1}{v_0 + 2un - u} - \dfrac{1}{v_0 + 2un + u}\right),\] чтобы найти момент времени \(n\)-го соударения: \[\begin{gather*} t_n = \tau_0 + \tau_1 + \ldots + \tau_{n-1} = \dfrac{(v_0 - u)L_0}{2u}\Biggl(\left(\dfrac{1}{v_0 - u} - \dfrac{1}{v_0 + u}\right) + \left(\dfrac{1}{v_0 + u} - \dfrac{1}{v_0 + 3u}\right) + \ldots\\ \ldots + \left(\dfrac{1}{v_0 + 2un - 3u} - \dfrac{1}{v_0 + 2un - u}\right)\Biggr) = \dfrac{(v_0 - u)L_0}{2u}\left(\dfrac{1}{v_0 - u} - \dfrac{1}{v_0 + 2un - u}\right) = \dfrac{nL_0}{v_0 + 2un - u}. \end{gather*}\] Вернёмся в исходную систему отсчёта. Сразу после чётного соударения шарик находится около догоняющей плиты, имеющей в этот момент смещение \(u_1t_n\), а сразу после нечётного — около другой плиты, отстоящей на \(L_n\) дальше догоняющей. С использованием операции остатка от деления смещение шарика вдоль направления движения плит записывается одной формулой: \[x_n = u_1t_n + L_n\cdot(n \bmod 2) = \dfrac{u_1nL_0}{v_0 + 2un - u} + \dfrac{(v_0 - u)L_0}{v_0 + 2un - u}\cdot(n \bmod 2) = L_0\cdot\dfrac{u_1n + (u_0\cos\varphi - u_1)(n \bmod 2)}{u_0\cos\varphi - u_1 + (u_1 - u_2)n}.\] Смещение шарика в поперечном направлении имеет вид \[y_n = v_\perp t_n = \dfrac{L_0nu_0\sin\varphi}{u_0\cos\varphi - u_1 + (u_1 - u_2)n}.\] Ответ на второй вопрос получаем по теореме Пифагора: \[S_n = \sqrt{x_n^2 + y_n^2} = \dfrac{L_0\sqrt{\bigl(u_1n + (u_0\cos\varphi - u_1)(n \bmod 2)\bigr)^2 + n^2u_0^2\sin^2\varphi}}{u_0\cos\varphi - u_1 + (u_1 - u_2)n}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.