Шары в бесконечном океане

Подсказка

Жидкость, вытесненную шаром, можно мысленно считать таким же шаром из жидкости; при движении шара вместе с ним ускоряется ещё и присоединённая масса жидкости, одинаковая для обоих шаров.

Ответ

1) \(F_1 = \dfrac{\gamma\rho_1\rho_2V^2}{L^2}\);  2) \(F_{21} = \dfrac{\gamma\rho_0(\rho_0 - \rho_2)V^2}{L^2}\),  \(F_{22} = \dfrac{\gamma\rho_0(\rho_0 - \rho_1)V^2}{L^2}\);  3) \(F_{31} = F_{32} = -\dfrac{\gamma(\rho_1 - \rho_0)(\rho_2 - \rho_0)V^2}{L^2}\);  4) \(a_1 = \dfrac{F_3a_2}{F_3 + (m_1 - m_2)a_2}\), где \(F_3 = \dfrac{\gamma(\rho_1 - \rho_0)(\rho_2 - \rho_0)V^2}{L^2}\), \(m_1 = \rho_1V\), \(m_2 = \rho_2V\).

Решение

Из определения плотности выразим массы шаров: \[m_1 = \rho_1V,\qquad m_2 = \rho_2V.\] 1. Шары взаимодействуют между собой только гравитационно по закону всемирного тяготения: \[F_1 = \dfrac{\gamma m_1m_2}{L^2} = \dfrac{\gamma\rho_1\rho_2V^2}{L^2}.\] 2. Мысленно поделим всю жидкость на жидкий шар массой \(m_0 = \rho_0V\), расположенный симметрично второму шару относительно центра первого, и остальную жидкость. Суммарная сила гравитационного взаимодействия первого шара и остальной жидкости равна нулю, так как остальная жидкость симметрична относительно центра первого шара, то есть для каждой частицы остальной жидкости найдётся другая её частица, которая действует на первый шар с противоположной гравитационной силой. Будем считать направление от центра первого шара к центру второго положительным, тогда ускорение свободного падения, создаваемое в области первого шара гравитационным полем второго и жидкого шаров, имеет вид \[g_1 = \dfrac{\gamma m_2}{L^2} - \dfrac{\gamma m_0}{L^2} = \dfrac{\gamma(\rho_2 - \rho_0)V}{L^2}.\] В силу условия \(L^3 \gg V\) это гравитационное поле можно считать однородным, то есть одинаковым в любой точке вблизи первого шара.

Векторная сумма сил давления жидкости (или газа) на покоящееся в среде тело "— это одно из определений силы Архимеда, которое может поставить в тупик разве что нелюбителей запоминать словесные определения физических понятий, поэтому искомую силу \(F_{21}\) находим через вес вытесненной жидкости: \[F_{21} = -m_0g_1 = \dfrac{\gamma\rho_0(\rho_0 - \rho_2)V^2}{L^2}.\] Повторяя те же рассуждения для второго шара (или просто заменяя индексы), получаем ускорение свободного падения в области второго шара \[g_2 = \dfrac{\gamma m_1}{L^2} - \dfrac{\gamma m_0}{L^2} = \dfrac{\gamma(\rho_1 - \rho_0)V}{L^2}\] и ответ на второй вопрос этого пункта: \[F_{22} = -m_0g_2 = \dfrac{\gamma\rho_0(\rho_0 - \rho_1)V^2}{L^2}.\] 3. Чтобы удерживать первый шар в покое, нужно прикладывать к нему силу, равную по величине и направленную противоположно сумме сил, действующих на него со стороны жидкости и второго шара: \[F_{31} = -(m_1g_1 + F_{21}) = -\dfrac{\gamma(\rho_1 - \rho_0)(\rho_2 - \rho_0)V^2}{L^2}.\] Повторяя те же рассуждения для второго шара (или просто заменяя индексы), получаем ответ на второй вопрос этого пункта: \[F_{32} = -(m_2g_2 + F_{22}) = -\dfrac{\gamma(\rho_1 - \rho_0)(\rho_2 - \rho_0)V^2}{L^2}.\]

4. Зачем в условии дано ускорение второго шара, если мы и так знаем массы шаров и все силы? Дело в существовании так называемой присоединённой массы жидкости, то есть массы жидкости, которая приходит в движение вместе с телом, так как среда должна расступиться перед телом и заполнить пространство позади него. Присоединённая масса жидкости зависит только от формы и размеров движущегося тела и плотности жидкости, поэтому она будет одинаковой для обоих шаров. С учётом присоединённой массы \(\mu\) жидкости и найденной в предыдущем пункте результирующей силы \[F_3 = \dfrac{\gamma(\rho_1 - \rho_0)(\rho_2 - \rho_0)V^2}{L^2}\] законы движения шаров сразу после их отпускания примут вид \[F_3 = (m_1 + \mu)a_1,\qquad F_3 = (m_2 + \mu)a_2,\] откуда после исключения \(\mu\) находим ускорение первого шара: \[a_1 = \dfrac{F_3a_2}{F_3 + (m_1 - m_2)a_2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.