Комнатная термодинамика

Подсказка

В задаче А пар конденсируется на стекле, пока его давление не сравняется с давлением насыщенного пара при температуре внутренней стороны стекла; в задаче В сравните тепло, нужное для нагрева сухого и максимально влажного воздуха, учтя испарение воды при остывании.

Ответ

А) \(\varphi \approx 12{,}3\,\%\);  В) \(x = \dfrac{P_a}{P_0} + \dfrac{6P}{5P_0} + \dfrac{2\mu L}{5RTP_0}(aT - P) \approx 3{,}26\).

Решение

Задача А. Пусть \(T_3\) — температура внутренней стороны окна, \(S\) — площадь окна, тогда равенство потоков тепла через стекло и через пограничный слой воздуха имеет вид \[\varkappa_1\cdot S\cdot\dfrac{T_3 - T_1}{h_1} = \varkappa_2\cdot S\cdot\dfrac{T_2 - T_3}{h_2},\] откуда получаем равенство \[T_3 = \dfrac{\frac{\varkappa_1}{h_1}\cdot T_1 + \frac{\varkappa_2}{h_2}\cdot T_2}{\frac{\varkappa_1}{h_1} + \frac{\varkappa_2}{h_2}} \approx -10^\circ\text{С}.\] Пар будет конденсироваться на стекле, пока его давление не станет равно давлению насыщенного пара при температуре стекла. Отсюда находим установившуюся влажность воздуха в комнате: \[\varphi = \dfrac{P_{\text{нас}}(T_3)}{P_{\text{нас}}(T_1)} = \dfrac{286{,}8\text{ Па}}{2338\text{ Па}} \approx 12{,}3\,\%.\]

Задача В. Искомое отношение найдём по формуле \(x = \Delta Q_2/\Delta Q_1\), где \(\Delta Q_1\) и \(\Delta Q_2\) — количества теплоты, которые нужно подвести к соответственно сухому и максимально влажному воздуху для нагревания на небольшую температуру \(\Delta T\). Пусть \(V\) — объём комнаты, \(\nu\) — количество воздуха в комнате, \(R\) — универсальная газовая постоянная, тогда с помощью уравнения Менделеева–Клапейрона можно записать первое начало термодинамики в виде \[\Delta Q_1 = \dfrac{5}{2}\nu R\Delta T = \dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{P_0V}{T}\cdot\Delta T. \tag{1}\] Поскольку воздух максимально влажный, давление \(P\) пара находим по таблице из условия, а давление \(P_a\) воздуха выражаем как парциальное давление: \[P = P_{\text{нас}}(T) = 1706\text{ Па},\qquad P_a = P_0 - P = 98{,}3\text{ кПа}.\] Аналогичное формуле для \(\Delta Q_1\) выражение для влажного воздуха имеет вид \[\Delta Q_2' = \dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{P_aV}{T}\cdot\Delta T + 3\cdot\dfrac{PV}{T}\cdot\Delta T,\] где при записи числовых коэффициентов учтено, что водяной пар является трёхатомным газом, но ещё не учтено испарение воды. Из уравнения Менделеева–Клапейрона выразим массу пара и её изменение: \[m = \dfrac{\mu P_{\text{нас}}V}{RT},\qquad \Delta m = m'(T)\Delta T = \dfrac{\mu V}{RT^2}\bigl(T\cdot P_{\text{нас}}'(T) - P_{\text{нас}}\bigr)\Delta T.\] Производную из предыдущей формулы найдём численно по таблице: \[a = P_{\text{нас}}'(T) = \dfrac{P_{\text{нас}}(T + 1\text{ К}) - P_{\text{нас}}(T - 1\text{ К})}{2\text{ К}} = 110\text{ Па/К}.\]

Количество теплоты, необходимой для испарения, имеет вид \[\Delta Q_2'' = L\Delta m = \dfrac{\mu V}{RT^2}(aT - P)\Delta T.\] Используя выражение \(\Delta Q_2 = \Delta Q_2' + \Delta Q_2''\), получим искомое отношение: \[x = \dfrac{P_a}{P_0} + \dfrac{6P}{5P_0} + \dfrac{2\mu L}{5RTP_0}(aT - P).\]

Каждое слагаемое в этой формуле связано с отдельным эффектом, поэтому для их количественного сравнения вычислим \(x\) поэтапно (не забыв при подстановке перевести температуру в кельвины): \[x = 0{,}983 + 0{,}0205 + 2{,}254 \approx 3{,}26.\] Таким образом, сухой воздух остывает существенно быстрее влажного.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.