Манёвр фотонной ракеты у звезды

У фотонной ракеты скорость, набранная от сгорания горючего, пропорциональна его расходу. Для первой орбиты запишите закон сохранения энергии между стартовой точкой и точкой касания, затем потребуйте, чтобы вторая прибавка скорости довела скорость в этой точке до второй космической.

\(r=\dfrac92\,R=4{,}5\,R\).

Что происходит. Ракета стоит на расстоянии \(r\) от центра звезды. Первое короткое включение (три четверти горючего) сообщает ей скорость \(v_1\) в нужном направлении; после этого она движется по эллипсу вокруг звезды и подходит к поверхности в точке \(P\), где скорость перпендикулярна радиусу. Здесь, на самом малом расстоянии, где скорость наибольшая, включают двигатель второй раз (последняя четверть горючего) вдоль скорости; скорость становится равной второй космической на расстоянии \(R\), и ракета уходит от звезды (рисунок ниже). Главная идея — связать прибавки скорости с расходом горючего и два раза записать закон сохранения энергии.

Обозначения. \(M\) — масса звезды, \(v_c=\sqrt{GM/r}\) — скорость круговой орбиты на расстоянии \(r\), \(v_p\) — скорость в точке \(P\) после первого включения, \(v_2\) — скорость после второго.

1. Скорость и горючее. Фотонная ракета выбрасывает излучение: израсходованная масса \(dm\) уносит энергию \(c^2\,dm\) и импульс \(c\,dm\). Закон сохранения импульса для ракеты и излучения даёт \(m\,dv=c\,dm\). Скорости ракеты много меньше \(c\), поэтому и израсходованная масса мала по сравнению с массой ракеты, \(m\) можно считать постоянной, и приращение скорости пропорционально расходу горючего. Весь запас даёт ровно \(v_c\) (выход на круговую орбиту с места: от \(0\) до \(v_c\)). Значит, три четверти горючего дают \(v_1=\tfrac34 v_c\), оставшаяся четверть — прибавку \(\Delta v_2=\tfrac14 v_c\). Включения короткие: за это время положение корабля и действие тяготения не меняются.

2. Первая орбита. После первого включения ракета движется только под действием тяготения звезды, поэтому её механическая энергия сохраняется. Запишем закон сохранения энергии между точкой старта на расстоянии \(r\) и точкой касания \(P\) на расстоянии \(R\): \[\frac{v_1^2}{2}-\frac{GM}{r}=\frac{v_p^2}{2}-\frac{GM}{R} \quad\Rightarrow\quad v_p^2=\frac{9}{16}\frac{GM}{r}-\frac{2GM}{r}+\frac{2GM}{R}=\frac{2GM}{R}-\frac{23}{16}\frac{GM}{r}.\] Обратите внимание: направление \(v_1\) по условию космонавты выбирают сами, в уравнение оно не входит; оно определяется условием касания (это угол \(\alpha\) на втором рисунке), а допустимость такого угла проверим в конце.

3. Второе включение. Включение в точке \(P\) вдоль скорости: скорости складываются, \(v_2=v_p+\Delta v_2=v_p+\tfrac14\sqrt{GM/r}\). «В обрез хватило для выхода» означает нулевую полную энергию на бесконечности: \(\tfrac12 v_2^2-GM/R=0\), то есть \(v_2=\sqrt{2GM/R}\). Для включения именно в \(P\) есть причина: при той же прибавке \(\Delta v\) энергия растёт на \(v\,\Delta v\), а в \(P\) скорость \(v\) наибольшая.

4. Расстояние. Пусть \(x=r/R\) и измеряем скорости в единицах \(\sqrt{GM/R}\). Тогда \(v_p=\sqrt{2-\dfrac{23}{16x}}\), \(\Delta v_2=\dfrac{1}{4\sqrt{x}}\), и условие \(v_p+\Delta v_2=\sqrt2\) принимает вид \[\sqrt{2-\frac{23}{16x}}=\sqrt2-\frac1{4\sqrt x}.\] Возведём в квадрат (обе части положительны): \(2-\dfrac{23}{16x}=2-\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt x}+\dfrac1{16x}\), откуда \(\dfrac{3}{2x}=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt x}\), то есть \(\sqrt x=\dfrac3{\sqrt2}\) и \(x=\dfrac92\).

Ответ: \(r=\dfrac92R=4{,}5\,R\).

Проверка. При \(x=4{,}5\): \(v_1=0{,}354\sqrt{GM/R}\), \(v_p=1{,}296\sqrt{GM/R}\), \(v_p+\Delta v_2=1{,}414\sqrt{GM/R}=\sqrt2\sqrt{GM/R}\). Допустимость угла: момент импульса сохраняется, \(v_1 r\sin\alpha=v_p R\), откуда \(\sin\alpha=v_p R/(v_1 r)=0{,}81<1\), \(\alpha\approx55^\circ\) (рисунок: \(v_r=0{,}205\) и \(v_\tau=0{,}288\) в единицах \(\sqrt{GM/R}\)). Численное интегрирование движения даёт то же: наименьшее расстояние \(1{,}00\,R\), наибольшее \(5{,}26\,R\). Смысл: напрямую с расстояния \(r\) уйти от звезды надо с \(\sqrt2\,v_c\), а запаса хватает только на \(v_c\); манёвр с вторым включением у самой звезды позволяет «выиграть» разницу.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.