Колебания после замыкания ключа

До замыкания ключа конденсаторы заряжены от батареи и ток равен нулю. После замыкания ток через \(C_1\) равен сумме токов через \(C_2\) и через катушку; выразите всё через напряжение на \(C_2\) и получите уравнение гармонических колебаний.

\(I_{\max}=\dfrac{U_0C_1}{\sqrt{L(C_1+C_2)}}\);  \(U_{1\max}=U_0\,\dfrac{2C_1+C_2}{C_1+C_2}\).

Что происходит. До замыкания ключа батарея зарядила последовательно соединённые \(C_1\) и \(C_2\), ток равен нулю. После замыкания катушка оказывается параллельно \(C_2\), а батарея с \(C_1\) остаётся последовательно с этой парой. Напряжение батареи постоянно, поэтому для изменений тока и напряжений батарея — короткое замыкание, и \(C_1\) оказывается параллельным \(C_2\) относительно катушки. Колебания идут с частотой \(\omega=1/\sqrt{L(C_1+C_2)}\), а не \(1/\sqrt{LC_2}\). Главная идея — записать закон сохранения заряда в узле и уравнение для катушки.

Обозначения. \(u\) — напряжение на \(C_2\) (оно же на катушке; верхний провод положителен), \(I\) — ток через катушку вниз, \(u_1\) — напряжение на \(C_1\), \(q_1,q_2\) — заряды обкладок \(C_1\) (левой) и \(C_2\) (верхней), соединённых с батареей и с верхним узлом. Токи \(I_1,I_2\) показаны на рисунке.

1. Начальное состояние. Ключ был разомкнут, конденсаторы последовательны, заряды равны: \(q_1=q_2\), то есть \(C_1(U_0-u_0)=C_2u_0\), откуда \[u_0=\frac{C_1}{C_1+C_2}\,U_0,\qquad I(0)=0 .\]

2. Уравнения после замыкания. Для контура батарея, \(C_1\), \(C_2\) сумма напряжений равна \(U_0\) (правило Кирхгофа): \(u_1+u=U_0\), поэтому \(q_1=C_1(U_0-u)\) и \(q_2=C_2u\). Закон сохранения заряда для верхнего узла: ток через \(C_1\) делится между \(C_2\) и катушкой, \(I_1=I_2+I\), то есть \[I=\frac{dq_1}{dt}-\frac{dq_2}{dt}=-(C_1+C_2)\frac{du}{dt}.\] Закон электромагнитной индукции для катушки: \(L\,\dfrac{dI}{dt}=u\).

3. Колебания. Продифференцируем \(L\,dI/dt=u\) и подставим \(du/dt\) из предыдущего уравнения: \[L\frac{d^2I}{dt^2}=\frac{du}{dt}=-\frac{I}{C_1+C_2}\quad\Rightarrow\quad \frac{d^2I}{dt^2}=-\omega^2 I,\qquad \omega=\frac1{\sqrt{L(C_1+C_2)}}.\] При \(I(0)=0\) и \(u(0)=u_0\): \[I=I_{\max}\sin\omega t,\qquad u=u_0\cos\omega t,\qquad I_{\max}=(C_1+C_2)\,\omega\,u_0=u_0\sqrt{\frac{C_1+C_2}{L}}.\]

4. Ответы. Подставим \(u_0\): \[I_{\max}=\frac{U_0C_1}{\sqrt{L(C_1+C_2)}} .\] Напряжение на \(C_1\) равно \(u_1=U_0-u=U_0-u_0\cos\omega t\) и наибольшее при \(\cos\omega t=-1\) (половина периода после замыкания, в этот момент \(I=0\)): \[U_{1\max}=U_0+u_0=U_0\,\frac{2C_1+C_2}{C_1+C_2}.\]

На рисунке — случай \(C_1=C_2\): тогда \(u_0=U_0/2\), \(U_{1\max}=\tfrac32U_0\).

Проверка. Второй способ — энергия. Ток максимален при \(u=0\). К этому моменту батарея прогнала через себя заряд \(C_1u_0\) и совершила работу \(U_0C_1u_0\); энергия конденсаторов изменилась с \(\tfrac12C_1(U_0-u_0)^2+\tfrac12C_2u_0^2\) до \(\tfrac12C_1U_0^2\). Баланс даёт \(\tfrac12LI_{\max}^2=\tfrac12 U_0^2C_1^2/(C_1+C_2)\), то же значение \(I_{\max}\). Предел \(C_2\to0\): колебательный контур \(LC_1\), подключённый к батарее, даёт \(I_{\max}=U_0\sqrt{C_1/L}\) и \(U_{1\max}=2U_0\) — известный результат.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.