Антенная решётка

В направлении A сигналы двух стержней должны приходить в фазе, в направлении B — в противофазе. Исключите сдвиг фаз, вычтя одно условие из другого, и подберите ориентацию решётки так, чтобы расстояние было наименьшим.

а) Пусть электрические сигналы, подаваемые на стержни 1 и 2, равны \(E_1 = E_0\cos\omega t\) и \(E_2 = E_0\cos(\omega t + \delta)\) соответственно. Условие максимума сигнала в направлении \(\vartheta_A\) (см. рис.): \[\frac{2\pi a}{\lambda}\sin\vartheta_A - \delta = 2\pi N,\] а условие минимума сигнала в направлении \(\vartheta_B\): \[\frac{2\pi a}{\lambda}\sin\vartheta_B - \delta = 2\pi N' + \pi,\] где \(N\) и \(N'\) — произвольные целые числа. Кроме того, \(\vartheta_A - \vartheta_B = \varphi\), где \(\varphi\) задан.

Теперь задачу можно сформулировать так: найти параметры \(a\), \(\vartheta_A\), \(\vartheta_B\), \(\delta\), \(N\) и \(N'\), удовлетворяющие приведённым уравнениям, такие, что \(a\) минимально.

Сначала исключим \(\delta\), вычтя второе уравнение из первого: \[a\sin\vartheta_A - a\sin\vartheta_B = \lambda\left(N - N' - \tfrac{1}{2}\right).\] С помощью формулы для разности синусов и соотношения \(\vartheta_B = \vartheta_A - \varphi\): \[2a\cos\left(\vartheta_A - \tfrac{1}{2}\varphi\right)\sin\tfrac{1}{2}\varphi = \lambda\left(N - N' - \tfrac{1}{2}\right),\] или \[a = \frac{\lambda\left(N - N' - \frac{1}{2}\right)}{2\cos\left(\vartheta_A - \frac{1}{2}\varphi\right)\sin\frac{1}{2}\varphi}.\] Минимум \(a\) достигается при наибольшем возможном значении знаменателя, т. е. \[\cos\left(\vartheta_A - \tfrac{1}{2}\varphi\right) = 1, \qquad \vartheta_A = \tfrac{1}{2}\varphi,\] и наименьшем значении числителя, т. е. \[N - N' = 1.\] Таким образом, решение: \[a = \frac{\lambda}{4\sin\frac{1}{2}\varphi}, \qquad \vartheta_A = \tfrac{1}{2}\varphi, \qquad \vartheta_B = -\tfrac{1}{2}\varphi \quad\text{и}\quad \delta = \tfrac{1}{2}\pi - 2\pi N.\] (Всюду можно считать \(N = 0\), не теряя ни одного физически значимого решения.)

б) Длина волны \(\lambda = c/\nu = 11{,}1~\text{м}\), угол между направлениями A и B \(\varphi = 157^\circ - 72^\circ = 85^\circ\). Минимальное расстояние между стержнями \(a = 4{,}1~\text{м}\), а линия симметрии стержней направлена под углом \(72^\circ + 42{,}5^\circ = 114{,}5^\circ\), отсчитанным от севера.