Электрические эксперименты в магнитосфере Земли

Подсказка

Запишите уравнение движения спутника вдоль касательной к окружности радиуса \(L\) вокруг «Атлантиса» с учётом разности гравитационной и центробежной сил на расстоянии \(R - L\cos\alpha\) от центра Земли. Для пункта c\(_2\) сравните работу силы Ампера с изменением полной энергии на круговой орбите.

Решение

a\(_1\)) Поскольку \(m_2 \ll m_1\), «Атлантис» движется вокруг Земли с постоянной скоростью. Движение спутника складывается из кругового движения «Атлантиса» вокруг Земли и (возможно) кругового движения спутника вокруг «Атлантиса». Для \(m_1\) имеем: \[m_1\Omega^2 R = \frac{G m_1 m_a}{R^2} \;\to\; \Omega^2 = \frac{G m_a}{R^3}. \qquad (1)\]

Для \(m_2\) имеем: \[m_2 L\ddot\alpha = -(F_g - F_c)\sin\alpha = -\left(\frac{G m_2 m_a}{(R - L\cos\alpha)^2} - m_2\Omega^2 (R - L\cos\alpha)\right)\sin\alpha.\] Используя приближение \[\frac{1}{(R - L\cos\alpha)^2} \approx \frac{1}{R^2} + \frac{2L\cos\alpha}{R^3}\] и уравнение (1), находим: \[L\ddot\alpha = -\left(\frac{G m_a}{R^2} + \frac{2G m_a}{R^3}\,L\cos\alpha - \frac{G m_a}{R^3}\,R + \frac{G m_a}{R^3}\,L\cos\alpha\right)\sin\alpha,\] откуда \[\ddot\alpha + 3\Omega^2\sin\alpha\cos\alpha = 0. \qquad (2)\] Если \(\alpha\) постоянен: \(\ddot\alpha = 0\) \(\to\) \(\sin\alpha = 0\) \(\to\) \(\alpha = 0\); \(\alpha = \pi\); \(\to\) \(\cos\alpha = 0\) \(\to\) \(\alpha = \pi/2\); \(\alpha = 3\pi/2\).

a\(_2\)) Положение устойчиво, если момент \(M = m_2 L\ddot\alpha L = m_2 L^2\ddot\alpha\) меняет знак противоположно тому, как меняет знак \(\alpha - \alpha_0\):

Таким образом, равновесие около углов \(0\) и \(\pi\) устойчиво, а около \(\pi/2\) и \(3\pi/2\) — неустойчиво.

b) При малых значениях \(\alpha\) уравнение (2) принимает вид \[\ddot\alpha + 3\Omega^2\alpha = 0.\] Это уравнение простого гармонического движения. Квадрат угловой частоты равен \[\omega^2 = 3\Omega^2,\] поэтому \[\omega = \Omega\sqrt3 \;\to\; T_1 = \frac{2\pi}{\omega} = \frac13\sqrt3\left(\frac{2\pi}{\Omega}\right) \approx 0{,}58\,T_0.\]

c\(_1\)) По правилу Ленца ток течёт от спутника (S) к шаттлу (A).

c\(_2\)) Для полной энергии системы имеем: \[U = U_{kin} + U_{pot} = \frac12\,m\Omega^2 R^2 - \frac{G m m_a}{R} = -\frac12\,\frac{G m m_a}{R}.\] Малому изменению радиуса орбиты соответствует изменение энергии \[\Delta U = \frac12\,\frac{G m m_a}{R^2}\,\Delta R = \frac12\,m\Omega^2 R\,\Delta R.\] В ситуации пункта c\(_1\) энергия отбирается у системы, вследствие чего радиус орбиты уменьшается. Если в цепь включён источник тока внутри шаттла, который поддерживает результирующий ток в противоположном направлении, энергия поглощается системой, вследствие чего радиус орбиты увеличивается. Из предположений пункта c\(_2\) имеем: \[\Delta U = F_l v t = B I L\,\Omega R\,t = \frac12\,m\Omega^2 R\,\Delta R \;\to\; t = \frac12\,\frac{m\Omega\Delta R}{BIL}.\] Численный расчёт даёт для времени \(t \approx 5{,}8\cdot 10^3\) с, что примерно равно периоду системы.