Задачи › Относительность движения, сложение скоростей

Три тигра

  1. Три тигра

    ВсОШ 2021/22, 10 кл.
    6/10

    Три тигра одновременно начинают движение по горизонтальной поверхности с постоянными по модулю скоростями. Скорость первого тигра в любой момент времени направлена на второго, скорость второго — на третьего, а скорость третьего — на первого. В начальный момент времени тигры образуют прямоугольный треугольник с катетами, равными \(L\) (рис. 1). Считайте размеры тигров много меньшими \(L\). Модуль скорости первого тигра \(v_1 = v\), где \(v\) — известная величина, а скорости второго и третьего тигров \(v_2\) и \(v_3\) таковы, что в процессе движения углы в треугольнике \(ABC\), образованном тиграми, остаются постоянными.

    Рисунок

    Введём систему координат так, как показано на рисунке. Начало координат совпадает с положением первого тигра в момент старта (точкой \(A\)).

    При ответе на первые три вопроса считайте, что тигры не проскальзывают по поверхности и могут развивать любое усилие. Найдите:

    1. время \(t\), через которое тигры встретятся;

    2. модули скоростей второго и третьего тигров \(v_2\) и \(v_3\);

    3. координаты \((x,y)\) точки, в которой тигры встретятся.

    В действительности движение тигров ограничивается коэффициентами трения их лап о поверхность. Для каждого тигра он одинаков и равен \(\mu\). Ускорение свободного падения \(g\).

    1. в течение какого времени \(\tau\) с момента старта тигры могут поддерживать такое движение?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Углы треугольника \(ABC\) не меняются, значит, он подобен исходному в любой момент. Выразите скорости изменения сторон \(AB\), \(BC\), \(AC\) через \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\) и приравняйте их отношения к отношениям сторон.

    Ответ

    1) \(t = \dfrac{L}{v}\);  2) \(v_2 = \dfrac{v}{2}\), \(v_3 = \dfrac{v}{\sqrt{2}}\);  3) \((x,y) = \left(\dfrac{4L}{5},\, \dfrac{2L}{5}\right)\);  4) \(\tau = 0\) при \(\mu \le \dfrac{v^2}{2gL}\), иначе \(\tau = \dfrac{L}{v} - \dfrac{v}{2\mu g}\).

    Решение

    Поскольку углы в треугольнике, образованном тиграми, остаются постоянными, в любой момент времени он подобен исходному, и все тигры встречаются одновременно. Скорость изменения расстояния \(AB\) равна \(v_{AB} = v_1 = v\) и постоянна, поэтому время до встречи \(t = L/v\).

    Скорости изменения расстояний \(BC\) и \(AC\): \[v_{BC} = v_2 + \frac{v_3}{\sqrt{2}}, \qquad v_{AC} = v_3 + \frac{v}{\sqrt{2}}.\] Так как углы треугольника сохраняются, скорости изменения сторон пропорциональны самим сторонам: \(\dfrac{v_{AB}}{AB} = \dfrac{v_{BC}}{BC} = \dfrac{v_{AC}}{AC}\). Из \(\dfrac{v_{AC}}{AC} = \dfrac{v}{L}\), с учётом \(AC = L\sqrt2\), получаем \(v_3 + \dfrac{v}{\sqrt2} = \sqrt2\,v\), откуда \(v_3 = \dfrac{v}{\sqrt2}\). Из \(\dfrac{v_{BC}}{BC} = \dfrac{v}{L}\), то есть \(v_2 + \dfrac{v_3}{\sqrt2} = v\), получаем \(v_2 = \dfrac{v}{2}\).

    Скорость второго тигра вдвое меньше скорости первого, а направления их скоростей в любой момент взаимно перпендикулярны. Значит, векторы перемещений тигров 1 и 2 также перпендикулярны и отличаются по модулю в два раза. Пусть \(\vec S_1\) и \(\vec S_2\) — перемещения первого и второго тигров до встречи. Тогда \(\vec S_1 = \vec{AB} + \vec S_2\), \(\vec S_1 \perp \vec S_2\), \(|\vec S_1| = 2|\vec S_2|\). Отсюда координаты точки встречи \((x_в, y_в) = \left(\dfrac{4L}{5}, \dfrac{2L}{5}\right)\).

    Ускорение первого тигра \(a_1 = \omega v_1\), где \(\omega = \dfrac{v_2}{AB} = \dfrac{v}{2AB}\) — угловая скорость поворота треугольника. Так как \(AB(t) = L - vt\), то \[a_1(t) = \frac{v^2}{2(L - vt)} \le \mu g.\] Ускорения второго и третьего тигров меньше \(a_1\), поэтому именно первый тигр первым не сможет поддерживать движение. Отсюда \(t \le \dfrac{L}{v} - \dfrac{v}{2\mu g}\). При малых \(\mu\) (\(\mu \le \dfrac{v^2}{2gL}\)) тигры не смогут даже начать такое движение, и \(\tau = 0\); иначе \(\tau = \dfrac{L}{v} - \dfrac{v}{2\mu g}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх