Электрическая тележка

Колёса проскальзывают, поэтому силы трения равны \(\mu N\). Запишите второй закон Ньютона для тележки и уравнение моментов относительно точки пола под центром тележки.

Пусть \(N_1\) и \(N_2\) — силы реакции пола на правое и левое колёса, \(a\) — горизонтальное ускорение тележки. Пусть \(N_{\text{л}}\) и \(N_{\text{п}}\) — силы реакции пола на левое и правое колёса. Колёса проскальзывают, поэтому силы трения равны \(\mu N_{\text{л}}\) и \(\mu N_{\text{п}}\). Из-за встречного вращения трение на левом колесе направлено вправо, на правом — влево. Уравнения вертикального равновесия и второго закона Ньютона (ось \(x\) направлена вправо): \[N_{\text{л}} + N_{\text{п}} = mg, \qquad \mu(N_{\text{л}} - N_{\text{п}}) = ma.\] Уравнение моментов относительно точки пола посередине между колёсами (сила инерции \(-m\vec a\) приложена к центру масс на высоте \(h\)): \[l\,(N_{\text{п}} - N_{\text{л}}) = mgx - mah.\] Из этих уравнений \(N_{\text{п}} - N_{\text{л}} = -\dfrac{ma}{\mu}\), поэтому \(a\left(h - \dfrac{l}{\mu}\right) = gx\), то есть \[a = \frac{\mu g x}{\mu h - l} = -\frac{\mu g x}{l - \mu h}.\] Так как \(\mu < l/h\), знаменатель положителен, и тележка движется влево с ускорением \(|a| = \dfrac{\mu g x}{l - \mu h}\).

С учётом найденного ускорения силы реакции равны \[N_{\text{п}} = \frac{mg\,(l - \mu h + x)}{2(l - \mu h)}, \qquad N_{\text{л}} = \frac{mg\,(l - \mu h - x)}{2(l - \mu h)}.\] Колёса не отрываются, пока обе реакции положительны. Условие \(N_{\text{л}} > 0\) даёт \(x < l - \mu h\); условие \(N_{\text{п}} > 0\) при \(x > 0\) выполняется автоматически. Итак, движение без отрыва колёс возможно при \(0 < x < l - \mu h\), то есть при \(\mu < \dfrac{l - x}{h}\).