Три бруска

Нумеруем бруски и силы трения так, как показано на рис. 91.

В случае удара по верхнему бруску (брусок \(1\)) \(F_{2\max} = 4F_{1\max}\), поэтому движется только брусок \(1\): \(a_0 = -\mu g\); \(t_0 = v_0/a\).

Разобьём движение брусков после удара по нижнему бруску (брусок \(3\)) на три этапа.

1. Силы трения очевидны: \(F_1 = \mu mg\), \(F_2 = 4\mu mg\), \(F_3 = 9\mu mg\) и тогда имеем \(a_1 = a_0\), \(a_2 = 3a_0\), \(a_3 = -13a_0\), где \(a_0 = \mu g\).

Скорости брусков \(2\) и \(3\) уравниваются: \[v_0 - 13a_0t = 3a_0t,\ t = \dfrac{t_0}{16}.\] При этом \(v_1 = \dfrac{v_0}{16}\), \(v_2 = v_3 = \dfrac{3v_0}{16}\).

2. Бруски \(2\) и \(3\) скользят вместе, поскольку из уравнения \[-9\mu mg + F_2 = -\mu mg - F_2\] получим \(F_2 = 4\mu mg\). Тогда \[a_2'' = a_3'' = -5a_0,\ a_1' = a_0.\] Скорости всех брусков уравниваются через время \(\Delta t\): \[\dfrac{3v_0}{16} - 5a_0\Delta t = \dfrac{v_0}{16} + a_0\Delta t.\] Скорость каждого бруска равна \(\dfrac{v_0}{12}\), \(\Delta t = \dfrac{t_0}{48}\).

3. Бруски снова разъезжаются, так как \(|a_3''| \geqslant 5a_0\), а \(|a_1''| \leqslant a_0\); \[a_1'' = -a_0,\ a_2'' = -3a_0,\ a_3'' = -5a_0.\] Последним остановится брусок \(1\) за время \(t_1 = \dfrac{t_0}{12}\).

Итак, полное время, за которое система приходит в состояние покоя, \[t_{\text{сум}} = t + \Delta t + t_1 = \dfrac{t_0}{6} = 0{,}5\text{ с}.\] Задачу можно решить графически — см. рис. 92. В кружке указан номер соответствующего бруска, цифры без кружочка — угловые коэффициенты прямой (ускорения соответствующего бруска в единицах \(\left|\dfrac{v_0}{t_0}\right|\)). Ускорение верхнего бруска после удара по нему равно \(\dfrac{v_0}{t_0} = \mu g\).