Доска и брусок: минимальный толчок

Question

Доска длины $L$ и массы $M$ лежит на гладкой горизонтальной поверхности; на одном её конце лежит маленький брусок массы $m$. Коэффициент трения между бруском и доской равен $\mu$. Какую минимальную скорость $v$ надо резким толчком сообщить доске, чтобы при последующем движении брусок проскользил вдоль всей доски и затем свалился с неё? Размерами бруска можно пренебречь.

Accepted Answer

Скорость маленького бруска в системе центра масс равна $\frac{Mv}{m+M}$, а скорость большого бруска в системе центра масс — $\frac{mv}{m+M}$. Работа силы трения равна $\mu mgL$, так что можно записать закон сохранения энергии: $$\tfrac12m\Bigl(\frac{Mv}{m+M}\Bigr)^2+\tfrac12M\Bigl(\frac{mv}{m+M}\Bigr)^2 = \mu mgL,$$ $$v^2\Bigl(\frac{mM(m+M)}{(m+M)^2}\Bigr) = 2\mu mgL,\qquad \boxed{v = \sqrt{2\mu gL\Bigl(1+\frac mM\Bigr)}}.$$

Доска и брусок: минимальный толчок

Похожие задачи