Доска длины \(L\) и массы \(M\) лежит на гладкой горизонтальной поверхности; на
одном её конце лежит маленький брусок массы \(m\). Коэффициент трения между бруском
и доской равен \(\mu\). Какую минимальную скорость \(v\) надо резким толчком сообщить
доске, чтобы при последующем движении брусок проскользил вдоль всей доски и затем
свалился с неё? Размерами бруска можно пренебречь.
▶РешениеСкрыть
Скорость маленького бруска в системе центра масс равна \(\frac{Mv}{m+M}\), а скорость большого бруска в системе центра масс — \(\frac{mv}{m+M}\). Работа силы трения равна \(\mu mgL\), так что можно записать закон сохранения энергии: \[\tfrac12m\Bigl(\frac{Mv}{m+M}\Bigr)^2+\tfrac12M\Bigl(\frac{mv}{m+M}\Bigr)^2 = \mu mgL,\] \[v^2\Bigl(\frac{mM(m+M)}{(m+M)^2}\Bigr) = 2\mu mgL,\qquad \boxed{v = \sqrt{2\mu gL\Bigl(1+\frac mM\Bigr)}}.\]