Вдоль проволоки без трения скользят \(n\) абсолютно упругих бусин. Каково максимально возможное число соударений? Размерами бусин можно пренебречь, равно как и вероятностью того, что одновременно столкнутся более двух бусин.
▶РешениеСкрыть
Воспользуемся идеей 55 и представим движение графически, а именно построим график \(x-t\) для каждой бусинки на одной плоскости. Для упрощения рассмотрим соударение всего двух бусинок. Поскольку массы равны, упругое соударение приведёт к обмену скоростями. Приведённый ниже график показывает взаимодействие синей и зелёной частиц. Хотя каждая отдельная бусинка демонстрирует зигзагообразное поведение, вместе они выглядят как две пересекающиеся прямые, причём точка пересечения соответствует моменту соударения.
Поскольку каждая из \(n\) прямых пересекается с любой другой ровно в одной точке и никакие три прямые не пересекаются в одной точке (вероятность того, что более двух бусинок столкнутся одновременно, пренебрежимо мала), число пересечений (соударений) на графике равно \[\boxed{\binom n2 = \frac{n(n-1)}2}.\]