Абсолютно упругий и скользкий бильярдный шар движется со скоростью \(v\) к двум
покоящимся точно таким же шарам. Покоящиеся шары касаются друг друга, и их центры
лежат на прямой, перпендикулярной вектору скорости налетающего шара. Движущийся
шар направлен точно на точку касания двух шаров. Какую скорость будет иметь
налетающий шар после соударений? Рассмотрите два случая: (а) налетающий шар
попадает точно посередине между шарами; (б) его траектория чуть-чуть смещена, и он
задевает один из покоящихся шаров немного раньше.
▶РешениеСкрыть
(а) Обозначим конечную скорость первого шара через \(v_1\), а двух других шаров — через \(v_2\).
В этой задаче соударение упругое, так что сохраняются и импульс, и энергия. Сохранение импульса даёт \[v_1+\frac{\sqrt3}2v_2+\frac{\sqrt3}2v_2 = v\ \Longrightarrow\ v_1+\sqrt3v_2 = v,\] а сохранение энергии – \[2\Bigl(\tfrac12mv_2^2\Bigr)+\tfrac12mv_1^2 = \tfrac12mv^2 \ \Longrightarrow\ 2v_2^2+v_1^2 = v^2.\] Это даёт нам два уравнения. Наша цель — найти \(v_1\), поэтому сначала выразим \(v_1\) через \(v_2\) и подставим обратно. Имеем \(v_1 = v-\sqrt3v_2\); подставляя в уравнение сохранения энергии, получаем \[2v_2^2+(v-\sqrt3v_2)^2 = v^2.\] Раскрывая, получаем \(2v_2^2+3v_2^2-2\sqrt3v_2v+v^2 = v^2\). Убирая \(v^2\) с обеих сторон и деля на \(v_2\), получаем \[5v_2 = 2\sqrt3v\ \Longrightarrow\ v_2 = \frac{2\sqrt3}5v.\] Подставляя \(v_2\) обратно в уравнение сохранения импульса, получаем \[v_1 = v-\sqrt3\cdot\frac{2\sqrt3}5v\ \Longrightarrow\ \boxed{|v_1| = \frac v5}.\] (б) Предположим, что движущийся шар сначала ударяет нижний шар. Пусть направление \(x\) совпадает с линией, соединяющей их центры. Тогда \(v_{1,x} = v\cos30^\circ\), а перпендикулярная компонента скорости \(v_{1,y} = v\sin30^\circ\). Заметим, что импульс силы действует вдоль линии центров, поэтому перпендикулярная компонента скорости не меняется. Сохранение импульса даёт \(v_{1,x} = v'_1+v'_2\), а сохранение энергии – \[v_{1,x}^2+v_{1,y}^2 = v'^2_1+v_{1,y}^2+v'^2_2\ \Longrightarrow\ v_{1,x}^2 = v'^2_1+v'^2_2.\] Заметим, что в направлении \(x\) это даёт то же поведение, что и центральное соударение двух одинаковых шаров. Поэтому скорость движущегося шара вдоль направления \(x\) обращается в нуль. Теперь движущийся шар ударит верхний шар со скоростью \(v\cos30^\circ\).
Это второе соударение тождественно первому. Компонента скорости вдоль линии центров равна \((v\cos30^\circ)\cos30^\circ\), а компонента, перпендикулярная этой линии, — \((v\cos30^\circ)\sin30^\circ\). Снова в конце сохранится только компонента, перпендикулярная этой линии, так что окончательный ответ: \[\boxed{v_f = v\sin^230^\circ = \frac v4}.\]