Вибрирующий ящик на склоне

Опоры колеблются в противофазе, и трение на ящик почти не действует, кроме коротких интервалов, когда обе опоры скользят вниз по склону. Найдите долю периода, занятую такими интервалами, и приравняйте среднюю силу трения скатывающей силе.

\(U\approx 25\text{ см/с}\) (\(0{,}25\) м/с).

11-1. Сила трения направлена в сторону противоположную направлению скорости движения тела относительно поверхности. Если бы ящик покоился, то суммарная сила трения, действующая на ящик была бы равна нулю (так как опоры колеблются в противофазе, то силы трения, действующие на них все время направлены в противоположные стороны). Когда ящик начинает двигаться, то в течении некоторого интервала времени опоры будут двигаться в одну сторону относительно наклонной плоскости. Пусть скорость первой опоры относительно ящика зависит от времени по закону

\[v_{1}^{\prime}=a \omega \sin \omega t,\]

тогда скорость второй

\[v_{2}^{\prime}=-a \omega \sin \omega t .\]

Если скорость ящика равна \(U\), то скорости платформ относительно наклонной плоскости равны

\[\left\{\begin{array}{l} v_{1}=U+a \omega \sin \omega t, \\ v_{2}=U-a \omega \sin \omega t . \end{array}\right.\]

Суммарная сила трения отлична от нуля, когда \(v_{1}>0, v_{2}>0\) (при этом сила трения направлена вверх по наклонной плоскости). Заметим, что условия \(v_{1} < 0, v_{2} < 0\) при неположительном \(U\) не выполняются никогда. Так как угол наклона плоскости \(\alpha\) мал, то можно предположить, что средняя скорость движения ящика значительно меньше максимальной скорости движения опор \(a \omega\) (справедливость этого предположения проверим позже). Итак, сила трения отлична от нуля и равна при выполнении условий

\[\begin{cases} v_1 > 0 \\ v_2 > 0 \end{cases}, \quad \begin{cases} a\omega\sin\omega t > -U \\ a\omega\sin\omega t < U \end{cases}.\tag{4}\]

Изобразим график \(v_1(t)\) и отметим те интервалы, в которых выполняется (4) (на рис. заштрихованы).

Так как \(U\) мало по сравнению с \(a\omega\), то интервал \(\tau\) также мал по сравнению с периодом колебаний. Поэтому можно считать \(\sin\omega\tau \approx \omega\tau\), тогда из (4) получим \(a\omega^2\tau = U\), откуда

\[\tau = \frac{U}{a\omega^2}.\]

За время одного периода колебаний \(T = \frac{2\pi}{\omega}\), в течение интервала времени \(4\tau\) сила трения равна \(\mu mg\cos\alpha\), а в остальные моменты она равна нулю. Следовательно, средняя сила трения

\[F_{\text{ср.}} = \mu mg\cos\alpha \frac{4\tau}{T} \approx \frac{2U}{\pi a\omega} \mu mg.\]

(здесь учтена малость \(\alpha\), тогда \(\cos\alpha \approx 1\)). При установившемся движении эта сила равна проекции силы тяжести на наклонную плоскость :

\[mg\sin\alpha = \frac{2U}{\pi a\omega} \mu mg.\]

Откуда следует (с учетом \(\sin\alpha \approx \alpha\))

\[U = \frac{\pi a\omega\sin\alpha}{2\mu} \approx \frac{\pi a\omega\alpha}{2\mu}.\]

Подстановка численных значений приводим к результату

\[U \approx 0{,}25 \text{ м/с} = 25 \text{ см/с}.\]

Как и следовало ожидать, \(U \ll a\omega = 1{,}8\) м/с, поэтому сделанное ранее приближения вполне обоснованы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.