11-4. При нагревании твердого тела его размеры увеличиваются по закону \[\Delta l = l_0 \alpha \Delta T,\] где \(l_0\) – начальная длина тела, \(\Delta l\) – ее увеличение, \(\Delta T\) – изменение температуры, \(\alpha\) – температурный коэффициент линейного расширения. Какой груз может приподнять стальной столбик с площадью поперечного сечения \(S = 10\text{см}^2\) при его нагревании на \(\Delta T = 10\text{К}\). Для стали \(\alpha = 1{,}1 \cdot 10^{-5}\text{К}^{-1}\), модуль Юнга \(E = 2{,}0 \cdot 10^{11}\text{Н/м}^2\).

\(m=\dfrac{SE\alpha\Delta T}{g}\approx 2{,}2\cdot10^3\) кг.

Стальной столбик при нагревании — Белорусская 1993/94, заключительный этап, 11 кл., задача 4

Стальной столбик при нагревании
Белорусская 1993/94, заключительный этап, 11 кл. · №24437
3/10PDF: условие с решением
11-4. При нагревании твердого тела его размеры увеличиваются по закону

\[\Delta l = l_0 \alpha \Delta T,\]

где \(l_0\) – начальная длина тела, \(\Delta l\) – ее увеличение, \(\Delta T\) – изменение температуры, \(\alpha\) – температурный коэффициент линейного расширения. Какой груз может приподнять стальной столбик с площадью поперечного сечения \(S = 10\text{см}^2\) при его нагревании на \(\Delta T = 10\text{К}\). Для стали \(\alpha = 1{,}1 \cdot 10^{-5}\text{К}^{-1}\), модуль Юнга \(E = 2{,}0 \cdot 10^{11}\text{Н/м}^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
Подсказка
Груз должен сжать столбик ровно настолько, насколько он расширился бы при нагревании. Свяжите упругую деформацию с напряжением по закону Гука.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ
\(m=\dfrac{SE\alpha\Delta T}{g}\approx 2{,}2\cdot10^3\) кг.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение
11-4. Чтобы препятствовать термическому расширению стального столбика необходимо прикладывать внешнюю нагрузку, которая, вследствие упругих деформаций, компенсирует термическое расширение. По закону Гука относительная упругая деформация определяется выражением

\[\frac{\Delta l}{l_0} = \frac{\sigma}{E},\tag{1}\]

где \(\sigma\) – механическое напряжение, причем в данном случае \(\sigma = \frac{mg}{S}\), где \(m\) – масса груза, лежащего на столбике. Приравнивая (1) к относительному термическому удлинению \(\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta T\), получим

\[\frac{mg}{SE} = \alpha \Delta T,\]

откуда находим \(m = \frac{SE\alpha \Delta T}{g} \approx 2{,}2 \cdot 10^3\) кг.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Нашли ошибку?

Стальной столбик при нагревании

Стальной столбик при нагревании

Похожие задачи