Частицы и волны

В части A действуют законы сохранения импульса и энергии: для элементарной мишени потеря \(Q\) равна нулю, для составной — она идёт во внутреннюю энергию. В части B волну на струне разбейте на две одинаковые бегущие навстречу волны, а в части C следите за фотоном в «сопутствующих» координатах: его путь равен \(c\,dt\), делённому на масштабный фактор.

A.a) (i) \(Q=\dfrac{p_1^2-p_{2x}^2-p_{2y}^2}{2m}-\dfrac{(p_1-p_{2x})^2+p_{2y}^2}{2M}\); (ii) окружность \(\bigl(p_{2x}-\frac{m\,p_1}{M+m}\bigr)^2+p_{2y}^2=\bigl(\frac{M\,p_1}{M+m}\bigr)^2\) (\(Q=0\)), точки пересечения с осью \(p_{2x}\): \(\frac{m-M}{M+m}\,p_1\) и \(p_1\); внутри \(Q>0\), снаружи \(Q<0\); допустимы \(Q\ge0\) (окружность и внутренность). A.b) (i) \(Q=\tfrac12kd_0^2x^2+\dfrac{1}{(1+x)^2}\,\dfrac{(p_1-p_2)^2}{2M}\sin^2\theta\); (ii) \(p_{\mathrm c}=-\dfrac{M-2m}{M+2m}\,p_1\); при \(M=3m\): \(p_{\mathrm c}=-p_1/5\), \(\sigma=\dfrac{2p_1+4p_2}{p_1-p_2}\) при \(-\frac{p_1}{2}\le p_2\le-\frac{p_1}{5}\) (от \(0\) до \(1\)) и \(\sigma=1\) при \(-\frac{p_1}{5}\le p_2<p_1\). B.c) \(T=\dfrac{2L}{c}\); при \(t=T/8\) струна — трапеция: от \(A\) и \(B\) участки с \(\operatorname{tg}\theta=\dfrac{2h}{L}\) и горизонтальной проекцией \(L/4\) до высоты \(h/2\), между ними горизонтальный отрезок длины \(L/2\) на высоте \(h/2\); B.d) \(E=\dfrac{2\mu c^2h^2}{L}\). C.e) \(L(t_{\mathrm e})=\dfrac{c}{H}\Bigl(1-\dfrac{1}{1{,}200}\Bigr)\approx6{,}9\cdot10^{2}\) Мпк; C.f) \(v(t_0)=\Bigl(\dfrac{a(t_0)}{a(t_{\mathrm e})}-1\Bigr)c\approx0{,}200\,c\).

Что происходит. В части A налетающая частица передаёт мишени импульс, а часть кинетической энергии поступательного движения может уйти во внутреннюю энергию мишени (колебания пружины и вращение). Если мишень элементарна, энергия не теряется, \(Q=0\), и допустимые импульсы лежат на окружности; если составная — \(Q\ge0\), допустима вся окружность с внутренностью. У двухчастичной мишени на пружине при большой жёсткости колебания подавлены, но вращение остаётся: удар не через центр масс закручивает мишень, и сечение определяется тем, при каких ориентациях такой удар возможен. В части B движение струны есть сумма двух бегущих навстречу волн, при отражении от закреплённых концов меняющих знак. В части C фотон летит через расширяющееся пространство, и его путь удобно считать «по участкам» в сопутствующих координатах.

Обозначения. \(\vec p_1=(p_1,0)\) — импульс налетающей частицы до рассеяния, \(\vec p_2=(p_{2x},p_{2y})\) — после; \(\vec P=\vec p_1-\vec p_2\) — импульс, полученный мишенью (закон сохранения импульса). В части B ось \(x\) — вдоль струны от \(A\) к \(B\), \(y\) — поперёк.

A.a)(i) До рассеяния движется только налетающая частица (мишень покоится): \(K_{\mathrm i}=\dfrac{p_1^2}{2m}\). После рассеяния кинетические энергии поступательного движения — у рассеянной частицы и у мишени, центр масс которой получил импульс \(\vec P=\vec p_1-\vec p_2\) по закону сохранения импульса: \[K_{\mathrm f}=\frac{p_2^2}{2m}+\frac{(\vec p_1-\vec p_2)^2}{2M}=\frac{p_{2x}^2+p_{2y}^2}{2m}+\frac{(p_1-p_{2x})^2+p_{2y}^2}{2M}.\] Подставляем в определение \(Q=K_{\mathrm i}-K_{\mathrm f}\): \[Q=\frac{p_1^2-p_{2x}^2-p_{2y}^2}{2m}-\frac{(p_1-p_{2x})^2+p_{2y}^2}{2M} =\frac{1}{2mM}\Bigl[(M-m)\,p_1^2-(M+m)\bigl(p_{2x}^2+p_{2y}^2\bigr)+2m\,p_1p_{2x}\Bigr].\] A.a)(ii) Выделим полные квадраты по \(p_{2x}\): \[\boxed{\,Q=\frac{M+m}{2mM}\left[\Bigl(\frac{M\,p_1}{M+m}\Bigr)^2-\Bigl(p_{2x}-\frac{m\,p_1}{M+m}\Bigr)^2-p_{2y}^2\right]\,}\] Проверка: при \(p_2=p_1\) (рассеяния нет) \(p_{2x}-\dfrac{mp_1}{M+m}=\dfrac{Mp_1}{M+m}\) и \(p_{2y}=0\), так что \(Q=0\), как и должно быть.

Если мишень элементарна, её внутренняя энергия не может измениться, и по закону сохранения энергии \(K_{\mathrm i}=K_{\mathrm f}\), то есть \(Q=0\): \[\Bigl(p_{2x}-\frac{m\,p_1}{M+m}\Bigr)^2+p_{2y}^2=\Bigl(\frac{M\,p_1}{M+m}\Bigr)^2.\] В плоскости \(p_{2x}\)–\(p_{2y}\) это окружность с центром \(\bigl(\dfrac{m\,p_1}{M+m},\,0\bigr)\) и радиусом \(\dfrac{M\,p_1}{M+m}\) (рис. 4, построен для \(M=2m\)). Точки пересечения с осью \(p_{2x}\) (\(p_{2y}=0\)): \[p_{2x}=\frac{m\,p_1}{M+m}\mp\frac{M\,p_1}{M+m}=\frac{m-M}{M+m}\,p_1\quad\text{и}\quad p_1 .\] Второе значение — «нет рассеяния» (\(\vec p_2=\vec p_1\)), первое — лобовой удар с отскоком назад (при \(m<M\)).

Рис. 4. Допустимые импульсы рассеянной частицы в плоскости \((p_{2x},p_{2y})\): окружность — упругое рассеяние (\(Q=0\)), внутри неё \(Q>0\), снаружи \(Q<0\).

Знак \(Q\): в формуле для \(Q\) выражение в квадратных скобках положительно внутри окружности, нулевое на ней и отрицательное вне её. Поэтому внутри окружности \(Q>0\), на окружности \(Q=0\), вне окружности \(Q<0\).

Для составной мишени в основном состоянии по закону сохранения энергии \(K_{\mathrm i}=K_{\mathrm f}+\Delta E_{\mathrm{вн}}\), где \(\Delta E_{\mathrm{вн}}\ge0\) — возбуждение мишени (внутренняя энергия в основном состоянии минимальна и только растёт). Значит, \(Q=\Delta E_{\mathrm{вн}}\ge0\): допустимы точки на окружности и внутри неё (\(Q=0\): упругое рассеяние, \(Q>0\): неупругое, мишень возбуждена); область \(Q<0\) запрещена.

A.b)(i) Обозначим через \(\vec L\) угловой момент мишени относительно оси, проходящей через её центр масс перпендикулярно плоскости движения. Сразу после удара он создан импульсом \(p_1-p_2\), приложенным вдоль \(x\) к ближней частице на расстоянии \(\tfrac12d_0\) от центра масс; плечо силы относительно центра масс равно \(\tfrac12d_0\sin\theta\) (рис. 5): \[L=\pm\tfrac12d_0\sin\theta\,(p_1-p_2),\] знак зависит от того, левую или правую частицу мишени задела налетающая.

Рис. 5. Удар по левой частице мишени: импульс \(\Delta p=p_1-p_2\) вдоль \(x\) приложен на плече \(\tfrac12d_0\sin\theta\) от центра масс \(O\) и закручивает мишень (угловой момент \(L\)).

Дальше мишень не взаимодействует с внешними телами, и \(L\) сохраняется относительно её центра масс. Рассмотрим момент максимального растяжения пружины: длина пружины \(d_{\mathrm m}=(1+x)d_0\), радиальная скорость частиц нулевая, а момент инерции мишени относительно оси через центр масс перпендикулярно пружине \[I_{\mathrm m}=2\cdot\frac M2\Bigl(\frac{d_{\mathrm m}}{2}\Bigr)^2=\frac14Md_{\mathrm m}^2=\frac14Md_0^2(1+x)^2 .\] Потеря кинетической энергии поступательного движения \(Q\) равна внутренней энергии мишени — энергии растянутой пружины и энергии вращения (в этот момент колебательной кинетической энергии нет): \[Q=\tfrac12k(d_{\mathrm m}-d_0)^2+\frac{L^2}{2I_{\mathrm m}}=\tfrac12kd_0^2x^2+\frac{L^2}{2I_{\mathrm m}} .\] Вычислим вращательную энергию: \[\frac{L^2}{2I_{\mathrm m}}=\frac{\tfrac14d_0^2\sin^2\theta\,(p_1-p_2)^2}{\tfrac12Md_0^2(1+x)^2}=\frac{1}{(1+x)^2}\,\frac{(p_1-p_2)^2}{2M}\sin^2\theta,\] и получаем уравнение \[\boxed{\,Q=\tfrac12kd_0^2x^2+\frac{1}{(1+x)^2}\,\frac{(p_1-p_2)^2}{2M}\,\sin^2\theta\,}\] Здесь \(Q\) при заданных \(p_1\) и \(p_2\) — число. Налетающая частица движется вдоль \(x\) и после рассеяния, то есть \(p_{2y}=0\), \(p_{2x}\equiv p_2\), и из формулы A.a)(ii): \[Q=\frac{M+m}{2mM}\Bigl[\Bigl(\frac{Mp_1}{M+m}\Bigr)^2-\Bigl(p_2-\frac{mp_1}{M+m}\Bigr)^2\Bigr]=\frac{p_1-p_2}{2mM}\bigl[(M-m)p_1+(M+m)p_2\bigr].\] Рассеяние идёт при \(p_2\ne p_1\) и \(Q\ge0\), то есть \[-\frac{M-m}{M+m}\,p_1\le p_2<p_1 ,\] равенство слева — упругий случай \(Q=0\).

A.b)(ii) Для заданных \(p_1\) и \(p_2\) значение \(Q\) фиксировано, а величину \(\alpha=\sin^2\theta\) найдём из уравнения A.b)(i): \[\alpha=\frac{2M}{(p_1-p_2)^2}\,(1+x)^2\Bigl(Q-\tfrac12kd_0^2x^2\Bigr)\ge0 .\] Неравенство \(\alpha\ge0\) даёт \(x^2\le\dfrac{2Q}{kd_0^2}\). В пределе большого \(k\) отсюда \(x\to0\): пружина почти не растягивается (колебания подавлены), и множитель \((1+x)^2\) можно заменить единицей: \[\alpha\approx\beta\Bigl(1-\frac{kd_0^2x^2}{2Q}\Bigr),\qquad \beta\equiv\frac{2MQ}{(p_1-p_2)^2}=\frac{(M-m)p_1+(M+m)p_2}{m\,(p_1-p_2)} .\] Здесь \(x\) пробегает значения от \(0\) до \(\sqrt{2Q/(kd_0^2)}\), и \(\alpha\) при этом убывает от \(\beta\) до \(0\) (рис. 6). Но \(\alpha=\sin^2\theta\le1\), поэтому \[\alpha_{\min}=0,\qquad \alpha_{\max}=\begin{cases}\beta,&\beta\le1,\\[2pt] 1,&\beta\ge1,\end{cases}\qquad\Longrightarrow\qquad \sigma=\alpha_{\max}-\alpha_{\min}=\min(\beta,1).\] При \(\beta\ge1\) сечение равно \(1\) и не зависит от \(p_2\) — это и есть скейлинг. Порог \(p_{\mathrm c}\) — там, где \(\beta=1\): \[(M-m)p_1+(M+m)p_2=m(p_1-p_2)\quad\Longrightarrow\quad(M+2m)\,p_2=-(M-2m)\,p_1,\] \[\boxed{\,p_{\mathrm c}=-\frac{M-2m}{M+2m}\,p_1\,}\]

Рис. 6. Допустимые значения \(\alpha=\sin^2\theta\) при заданном \(p_2\) (по горизонтали \(x\) в единицах \(x_0=\sqrt{2Q/(kd_0^2)}\)). Слева \(\beta<1\): \(\alpha\) идёт от \(0\) до \(\beta\). Справа \(\beta>1\): потолок \(\alpha=1\).

При \(p_2<p_{\mathrm c}\) сечение \(\sigma=\beta\): \[\sigma=\frac{(M-m)p_1+(M+m)p_2}{m(p_1-p_2)}=\frac{M(p_1+p_2)}{m(p_1-p_2)}-1 ,\qquad -\frac{M-m}{M+m}p_1\le p_2\le p_{\mathrm c},\] а при \(p_2\ge p_{\mathrm c}\) — \(\sigma=1\).

Пусть \(M=3m\). Тогда \(p_{\mathrm c}=-\dfrac{p_1}{5}\), граница допустимых \(p_2\) слева — \(-\dfrac{M-m}{M+m}p_1=-\dfrac{p_1}{2}\) (там \(\sigma=0\)), и \[\sigma(p_2)=\begin{cases}\dfrac{2p_1+4p_2}{p_1-p_2},&-\dfrac{p_1}{2}\le p_2\le-\dfrac{p_1}{5},\\[8pt] 1,&-\dfrac{p_1}{5}\le p_2<p_1 .\end{cases}\]

Рис. 7. Сечение \(\sigma(p_2)\) при \(M=3m\): растёт от \(0\) при \(p_2=-p_1/2\) до \(1\) при \(p_2=p_{\mathrm c}=-p_1/5\) и дальше постоянно, \(\sigma=1\) (скейлинг).

Проверка. На левой границе \(p_2=-\tfrac12p_1\) получаем \(\sigma=\dfrac{2-2}{1+0{,}5}=0\) — упругий удар, \(Q=0\), вращению энергия не достаётся. На пороге \(p_2=-\tfrac15p_1\): \(\sigma=\dfrac{2-0{,}8}{1{,}2}=1\) — кривая стыкуется с горизонталью. Смысл: пока возбуждение мало, ориентации мишени, при которых удар возможен, ограничены, а при \(p_2>p_{\mathrm c}\) подходит любая — сечение просто равно единице (геометрическому сечению мишени).

B.c) Пусть \(f(x)\) — начальная форма струны (треугольник высоты \(h\)), \(\tau=\mu c^2\) — натяжение. Малые колебания описываются волновым уравнением, общее решение которого — сумма двух волн, бегущих вправо и влево со скоростью \(c\): \[y(x,t)=y_R(x-ct)+y_L(x+ct).\] Начальные условия: \(y(x,0)=f(x)\) и \(\dot y(x,0)=0\), то есть \(y_R+y_L=f\) и \(-c\,y_R'+c\,y_L'=0\), откуда \(y_R'=y_L'\), и с точностью до постоянной (она сокращается) \[y_R(x)=y_L(x)=\tfrac12f(x).\] Закреплённые концы \(y(0,t)=y(L,t)=0\) означают, что при отражении волна меняет знак, то есть \(f\) надо продолжить на всю ось нечётным образом с периодом \(2L\). Тогда \[y(x,t)=\tfrac12\bigl[f(x-ct)+f(x+ct)\bigr].\] Каждая из волн, пройдя туда и обратно путь \(2L\), возвращается в исходное состояние, поэтому \[\boxed{\,T=\frac{2L}{c}\,}\] (второй способ: основная гармоника имеет длину волны \(2L\), \(T=\lambda/c=2L/c\)).

В момент \(t=T/8\) каждая волна сместилась на \(ct=\dfrac{cT}{8}=\dfrac L4\): вычислим \(y(x)=\tfrac12\bigl[f(x-\tfrac L4)+f(x+\tfrac L4)\bigr]\) на участках, учитывая \(f(s)=\dfrac{2h}{L}\,s\) при \(0\le s\le\dfrac L2\) и \(f(s)=\dfrac{2h}{L}(L-s)\) при \(\dfrac L2\le s\le L\), нечётность \(f(-s)=-f(s)\).

Для \(0\le x\le\dfrac L4\) имеем \(f(x+\tfrac L4)=\dfrac{2h}{L}\bigl(x+\tfrac L4\bigr)\) и \(f(x-\tfrac L4)=-\dfrac{2h}{L}\bigl(\tfrac L4-x\bigr)\), отсюда \(y=\dfrac{2h}{L}x\) — прежний наклон. Для \(\dfrac L4\le x\le\dfrac{3L}{4}\) оба аргумента лежат в \([0,L]\): \[y=\frac12\cdot\frac{2h}{L}\Bigl[\bigl(x-\tfrac L4\bigr)+\bigl(L-x-\tfrac L4\bigr)\Bigr]=\frac h2 .\] Форма симметрична относительно середины. Получаем: струна — трапеция (рис. 8–10): от \(A\) и от \(B\) идут участки с исходным наклоном \(\operatorname{tg}\theta=\dfrac{2h}{L}\) и горизонтальной длиной \(\dfrac L4\) до высоты \(\dfrac h2\), а между ними — горизонтальный отрезок длины \(\dfrac L2\) на высоте \(\dfrac h2\) (длина этого отрезка \(2ct=\dfrac L2\) растёт со временем).

Рис. 8. Момент \(t=T/8\): правая бегущая волна (штрихи), левая (точки) и их сумма — форма струны (бирюзовая линия).

Рис. 9. Форма струны в моменты \(0\), \(T/8\), \(T/4\), \(3T/8\), \(T/2\) (отклонения увеличены): плоский отрезок расширяется, при \(t=T/4\) струна прямая, при \(t=T/2\) — перевёрнутый треугольник.

Рис. 10. Ответ к пункту (c): форма струны при \(t=T/8\) — трапеция; боковые участки с наклоном \(\operatorname{tg}\theta=2h/L\) и горизонтальной проекцией \(L/4\), плоский отрезок длины \(L/2\) на высоте \(h/2\) (вертикаль увеличена, штрихи — форма при \(t=0\)).

Проверка. В момент \(t=T/4\) имеем \(y=\tfrac12\bigl[f(x-\tfrac L2)+f(x+\tfrac L2)\bigr]=0\) — струна прямая, и дальше она идёт к перевёрнутой форме; при \(t=T/2\) получается зеркальный треугольник \(-f(x)\), значит, период в самом деле \(2L/c\).

B.d) Энергия сохраняется. В момент \(t=0\) скорости равны нулю, вся энергия — потенциальная энергия натянутой струны: при малом наклоне \(y'\ll1\) удлинение элемента \(dx\) равно \(\tfrac12y'^2dx\), работа против натяжения \(\tau=\mu c^2\) — \(\tfrac12\tau y'^2dx\). На обеих половинах \(|y'|=\dfrac{h}{L/2}=\dfrac{2h}{L}\): \[E=\tfrac12\tau\int_0^L y'^2\,dx=\tfrac12\mu c^2\Bigl(\frac{2h}{L}\Bigr)^2L=\boxed{\,\frac{2\mu c^2h^2}{L}\,}\] Проверка. Второй способ: при \(t=T/4\) струна прямая, вся энергия — кинетическая. Скорость каждой точки \(|\dot y|=c\,\dfrac{h}{L}+c\,\dfrac hL=\dfrac{2ch}{L}\) (вклады двух бегущих волн, каждая со скоростью \(c\cdot\tfrac12|f'|=\dfrac{ch}{L}\), складываются). Тогда \(E=\tfrac12\mu L\Bigl(\dfrac{2ch}{L}\Bigr)^2=\dfrac{2\mu c^2h^2}{L}\) — то же. Размерность: (кг/м)(м/с)\(^2\cdot\)м\(^2\)/м = Дж.

C.e) Воспользуемся масштабным фактором. За малое время \(dt\) в момент \(t\) фотон пролетает собственное расстояние \(c\,dt\); во время \(t_{\mathrm e}\) этому соответствовало бы расстояние \(\dfrac{a(t_{\mathrm e})}{a(t)}\,c\,dt\) (расстояния растут пропорционально \(a\)). Сумма таких вкладов от момента испускания до сегодняшнего — расстояние до звезды в момент испускания: \[L(t_{\mathrm e})=\int_{t_{\mathrm e}}^{t_0}\frac{a(t_{\mathrm e})}{a(t)}\,c\,dt .\] Так как \(a(t)\propto e^{bt}\), параметр Хаббла \(H=\dot a/a=b\) постоянен и \(\dfrac{a(t_{\mathrm e})}{a(t)}=e^{H(t_{\mathrm e}-t)}\); интеграл (формула из приложения): \[L(t_{\mathrm e})=c\int_{t_{\mathrm e}}^{t_0}e^{H(t_{\mathrm e}-t)}dt=\frac cH\Bigl(1-e^{H(t_{\mathrm e}-t_0)}\Bigr)=\frac cH\Bigl(1-\frac{a(t_{\mathrm e})}{a(t_0)}\Bigr).\] Красное смещение даёт отношение масштабных факторов: \[\frac{a(t_0)}{a(t_{\mathrm e})}=\frac{\lambda(t_0)}{\lambda(t_{\mathrm e})}=\frac{145{,}8}{121{,}5}=1{,}200 .\] Отсюда \[\boxed{\,L(t_{\mathrm e})=\frac cH\Bigl(1-\frac1{1{,}200}\Bigr)=\frac{c}{6H}\,}\] \[\frac cH=\frac{2{,}998\cdot10^{5}~\text{км/с}}{72~\text{км}\cdot\text{с}^{-1}\cdot\text{Мпк}^{-1}}=4{,}16\cdot10^{3}~\text{Мпк},\qquad L(t_{\mathrm e})=\frac{4{,}164\cdot10^{3}}{6}~\text{Мпк}\approx694~\text{Мпк}\approx6{,}9\cdot10^{2}~\text{Мпк}.\]

Рис. 11. Расстояние до фотона \(r(t)=\dfrac cH\bigl(1-e^{H(t-t_0)}\bigr)\) (бирюзовая кривая) убывает от \(694\) Мпк при \(t_{\mathrm e}\) до нуля при \(t_0\); расстояние до звезды \(L(t)\) (чёрная) растёт за то же время от \(694\) до \(833\) Мпк.

Проверка. Подстановка \(r(t)\) в \(\dfrac{dr}{dt}=Hr-c\) даёт тождество: \(\dot r=-c\,e^{H(t-t_0)}\) и \(Hr-c=c\bigl(1-e^{H(t-t_0)}\bigr)-c\). При \(t=t_0\) расстояние до фотона равно нулю — он у нас, при \(t=t_{\mathrm e}\) — \(c/(6H)\), как найдено. Время полёта \(t_0-t_{\mathrm e}=\dfrac{\ln1{,}2}{H}\approx2{,}5\) млрд лет, и \(c\,(t_0-t_{\mathrm e})\approx760\) Мпк больше найденных \(694\) Мпк: участки пути, пройденные позже, измеряются расстояниями момента испускания с множителем \(a(t_{\mathrm e})/a(t)<1\), то есть оказываются короче.

C.f) За время полёта расстояние выросло пропорционально масштабному фактору: \[L(t_0)=\frac{a(t_0)}{a(t_{\mathrm e})}\,L(t_{\mathrm e})=1{,}200\cdot694~\text{Мпк}\approx833~\text{Мпк}.\] Скорость удаления — по закону Хаббла: \[v(t_0)=H\,L(t_0)=H\,\frac{a(t_0)}{a(t_{\mathrm e})}\,\frac cH\Bigl(1-\frac{a(t_{\mathrm e})}{a(t_0)}\Bigr)=\boxed{\Bigl(\frac{a(t_0)}{a(t_{\mathrm e})}-1\Bigr)c\,}=0{,}200\,c .\] Проверка. Численно: \(v=72\cdot833~\text{км/с}\approx6{,}0\cdot10^{4}~\text{км/с}=0{,}200\,c\). Ответ равен красному смещению: \(z=\dfrac{\lambda_0-\lambda_{\mathrm e}}{\lambda_{\mathrm e}}=0{,}200\), и в этой модели \(v(t_0)=cz\) точно, при любом \(z\) (а расстояние сегодня \(L(t_0)=cz/H\)). При \(z>1\) звезда удалялась бы быстрее света — это не противоречит теории относительности: удаление создаётся расширением пространства, а не движением в нём. Размерность: \(H\cdot\dfrac cH\) — скорость.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.