Электронный и газовые пузырьки в жидкостях

В части A сравните давление электрона, запертого в пузырьке (его энергия растёт как \(1/R^2\)), с давлением жидкости и лапласовой добавкой \(2\sigma/R\). В части B работа внешнего давления идёт в кинетическую энергию жидкости, а газ сжимается адиабатически, так что его температура растёт как \(R^{-2}\).

A.a) \(P_{\mathrm e}=P_{\mathrm{He}}+\dfrac{2\sigma}{R}\),   \(P_{\mathrm e}=\dfrac{E_{\mathrm k}}{2\pi R^3}\);  A.b) \(E_0=\dfrac{9\hbar^2}{8mR^2}\);  A.c) \(R_{\mathrm e}=\Bigl(\dfrac{9\hbar^2}{32\pi m\sigma}\Bigr)^{1/4}\approx1{,}31\) нм;  A.d) \(P_{\mathrm{He}}>-\dfrac{8\sigma}{5R}\);  A.e) \(P_{\mathrm{th}}=-\dfrac{8\sigma}{5R_{\mathrm{th}}}\), \(R_{\mathrm{th}}=\Bigl(\dfrac{45\hbar^2}{32\pi m\sigma}\Bigr)^{1/4}\), \(P_{\mathrm{th}}\approx-3\cdot10^5\) Па; B.f) \(dW=(P-P_0)\,4\pi R^2dR\), \(m=3\), \(n=2\);  B.g) \(P=P_{\mathrm i}(R_{\mathrm i}/R)^5=P_0(R_0/R_{\mathrm i})^3(R_{\mathrm i}/R)^5\), \(T=T_0(R_{\mathrm i}/R)^2\);  B.h) \(\mu=\dfrac{P_0}{3R_{\mathrm i}^2}\);  B.i) \(C_{\mathrm m}=1\), \(R_{\mathrm m}\approx2{,}3\) мкм, \(T_{\mathrm m}\approx6{,}9\cdot10^4\) К;  B.j) \(\beta_u=\sqrt{\dfrac{5Q}{3(1+Q)}}\approx0{,}085\), \(\bar u\approx5{,}5\cdot10^6\) с\(^{-1}\), \(\Delta t_{\mathrm m}\approx\dfrac{\beta_u-\beta_{\mathrm m}}{\bar u}\approx3{,}5\) нс;  B.k) \(\dot E=-4\pi R_{\mathrm i}^3P_{\mathrm i}\dfrac{\dot\beta}{\beta^3}\), \(a\le\dfrac{P_{\mathrm i}R_{\mathrm i}}{5\sigma_{\mathrm{SB}}T_0^4}\,\bar\beta^3\bar u\approx0{,}011\).

Что происходит. В части A электрон заперт в сферической полости. Чем меньше полость, тем больше его кинетическая энергия (соотношение неопределённостей), тем сильнее он давит на стенку; жидкость и поверхностное натяжение удерживают стенку. Равновесный радиус — там, где эти давления сравниваются. В части B давление жидкости \(P_0\) сжимает раздутый пузырёк: работа внешнего давления переходит в кинетическую энергию жидкости, которая устремляется к центру, а газ внутри сжимается адиабатически и нагревается. Главное — кинетическая энергия растущего потока жидкости и степенные законы адиабаты: \(P\propto R^{-5}\), \(T\propto R^{-2}\).

Обозначения. \(\hbar=1{,}055\cdot10^{-34}\) Дж\(\cdot\)с, \(m=9{,}11\cdot10^{-31}\) кг, \(\sigma=3{,}75\cdot10^{-4}\) Н/м. В части B: \(R_0=5{,}00\cdot10^{-6}\) м, \(R_{\mathrm i}=7R_0=3{,}50\cdot10^{-5}\) м, \(P_0=1{,}01\cdot10^{5}\) Па, \(\rho_0=10^3\) кг/м\(^3\), \(T_0=300\) К, \(\gamma=5/3\).

A.a) Рассмотрим половину сферической границы пузырька (рис. 2) и запишем условие её равновесия: сумма сил равна нулю. Силы давления на полусферу в проекции на ось симметрии равны силе давления на плоский круг радиуса \(R\), то есть \(\pi R^2\,P\) (проекции давлений на остальные направления взаимно уничтожаются). Изнутри толкает электрон с давлением \(P_{\mathrm e}\), снаружи — жидкость с давлением \(P_{\mathrm{He}}\), а по линии разреза длиной \(2\pi R\) вторую половину поверхности заменяет сила поверхностного натяжения \(2\pi R\sigma\), стягивающая полусферу: \[\pi R^2(P_{\mathrm e}-P_{\mathrm{He}})=2\pi R\sigma\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,P_{\mathrm e}=P_{\mathrm{He}}+\frac{2\sigma}{R}\,}\] (формула Лапласа для одной поверхности).

Рис. 2. Силы, действующие на половину границы пузырька: давление электрона \(P_{\mathrm e}\) изнутри, давление гелия \(P_{\mathrm{He}}\) снаружи, натяжение \(\sigma\) по линии разреза длиной \(2\pi R\).

Теперь связь \(E_{\mathrm k}\) и \(P_{\mathrm e}\). Электрон в пузырьке — стоячая волна, длина волны де Бройля которой по порядку величины равна размеру полости \(R\). Значит, импульс \(p=h/\lambda\propto1/R\), а нерелятивистская энергия \[E_{\mathrm k}=\frac{p^2}{2m}=\frac{\text{const}}{R^2}.\] Пусть пузырёк расширяется на \(dR\). Электрон при этом совершает работу над стенкой \(P_{\mathrm e}\,dV\) за счёт своей энергии, поэтому \(dE_{\mathrm k}=-P_{\mathrm e}\,dV\). Подставляем \(dE_{\mathrm k}=-2E_{\mathrm k}\,dR/R\) и \(dV=4\pi R^2dR\): \[P_{\mathrm e}\cdot4\pi R^2\,dR=\frac{2E_{\mathrm k}}{R}\,dR\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,P_{\mathrm e}=\frac{E_{\mathrm k}}{2\pi R^3}\,}\] Проверка. Это то же, что давление газа с тремя степенями свободы по кинетической теории: \(P=\dfrac23\dfrac{E_{\mathrm k}}{V}=\dfrac23\cdot\dfrac{3E_{\mathrm k}}{4\pi R^3}=\dfrac{E_{\mathrm k}}{2\pi R^3}\).

A.b) Запишем соотношения неопределённостей по трём осям: \(\Delta x\,\Delta p_x\ge\hbar/2\) и так же для \(y\), \(z\). Пузырёк изотропен, поэтому средние координаты и импульсы равны нулю, а неопределённости по осям одинаковы: \((\Delta x)^2=\overline{x^2}\), \((\Delta p_x)^2=\overline{p_x^2}\) и т. д. Тогда \[\overline{r^2}=\overline{x^2}+\overline{y^2}+\overline{z^2}=3(\Delta x)^2,\qquad \overline{p^2}=3(\Delta p_x)^2 ,\] \[\overline{r^2}\;\overline{p^2}=9(\Delta x)^2(\Delta p_x)^2\ge\frac{9\hbar^2}{4}.\] Отсюда для кинетической энергии \[E_{\mathrm k}=\frac{\overline{p^2}}{2m}\ge\frac{1}{2m}\cdot\frac{9\hbar^2}{4\,\overline{r^2}} .\] Правая часть тем меньше, чем больше \(\overline{r^2}\); но электрон не выходит за пузырёк, поэтому \(\overline{r^2}\le R^2\). Наименьшее возможное значение получается при \(\overline{r^2}=R^2\): \[\boxed{\,E_0=\frac{9\hbar^2}{8mR^2}\,}\] Проверка. Размерность: \(\hbar^2/(mR^2)\) — (Дж\(\cdot\)с)\(^2\)/(кг\(\cdot\)м\(^2\)) = Дж. Это оценка снизу: точная энергия основного состояния в сферической яме \(\pi^2\hbar^2/(2mR^2)\approx4{,}9\,\hbar^2/(mR^2)\) примерно в \(4{,}4\) раза больше, и всё сказанное ниже выполняется для \(E_0\) как нижней границы (по условию).

A.c) Подставим \(E_{\mathrm k}=E_0\) в связь \(P_{\mathrm e}=E_{\mathrm k}/(2\pi R^3)\) и в равновесие A.a) при \(P_{\mathrm{He}}=0\): \[P_{\mathrm e}=\frac{E_0}{2\pi R^3}=\frac{9\hbar^2}{16\pi mR^5}=\frac{2\sigma}{R}\quad\Longrightarrow\quad R^4=\frac{9\hbar^2}{32\pi m\sigma}.\] \[\boxed{\,R_{\mathrm e}=\Bigl(\frac{9\hbar^2}{32\pi m\sigma}\Bigr)^{1/4}\,}=\Bigl(\frac{9\cdot(1{,}055\cdot10^{-34})^2}{32\pi\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot3{,}75\cdot10^{-4}}\Bigr)^{1/4}\approx1{,}31\cdot10^{-9}~\text{м}=1{,}31~\text{нм}.\] Проверка. Из равновесия \(E_0=4\pi R_{\mathrm e}^2\sigma\approx8{,}0\cdot10^{-21}\) Дж \(\approx0{,}050\) эВ: энергия электрона равна энергии поверхности пузырька. В официальном решении здесь указано \(E_0=3h\sqrt{\sigma/(2\pi m)}=0{,}100\) эВ — это ошибка в два раза: из \(R_{\mathrm e}\) следует \(4\pi R_{\mathrm e}^2\sigma=\tfrac32\,h\sqrt{\sigma/(2\pi m)}=0{,}050\) эВ (то же даёт прямая подстановка в \(9\hbar^2/(8mR_{\mathrm e}^2)\)). Это равновесие по энергии: минимум полной энергии \(E_0(R)+4\pi\sigma R^2\) достигается при \(-2E_0/R+8\pi\sigma R=0\), то есть при \(E_0=4\pi\sigma R^2\) — тот же результат. Размер пузырька — порядка нанометра.

A.d) Равновесие при постоянном \(P_{\mathrm{He}}\) определяется уравнением \[\frac{2\sigma}{R}+P_{\mathrm{He}}=\frac{9\hbar^2}{16\pi mR^5}\equiv P_{\mathrm e}(R).\] Оно локально устойчиво, если при малом увеличении радиуса \(dR>0\) давление, толкающее границу внутрь (жидкость и натяжение), становится больше давления электрона, толкающего её наружу; то есть \(P_{\mathrm e}\) убывает с ростом \(R\) быстрее, чем \(2\sigma/R+P_{\mathrm{He}}\). Сравниваем производные по \(R\): \[\frac{dP_{\mathrm e}}{dR}=-\frac{5P_{\mathrm e}}{R}<\frac{d}{dR}\Bigl(\frac{2\sigma}{R}\Bigr)=-\frac{2\sigma}{R^2}\quad\Longrightarrow\quad P_{\mathrm e}>\frac{2\sigma}{5R}.\] Заменяя \(P_{\mathrm e}=P_{\mathrm{He}}+2\sigma/R\), получаем \[P_{\mathrm{He}}+\frac{2\sigma}{R}>\frac{2\sigma}{5R}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,P_{\mathrm{He}}>-\frac{8\sigma}{5R}\,}\] (то же при \(dR<0\)). Обратите внимание: \(P_{\mathrm{He}}\) может быть отрицательным: жидкость в натянутом состоянии тянет границу наружу, и пузырёк остаётся устойчивым, пока это растяжение не слишком велико.

A.e) Равновесие при радиусе \(R\) возможно, если \(P_{\mathrm{He}}=P_{\mathrm e}(R)-2\sigma/R\) (рис. 3). Значит, возможные \(P_{\mathrm{He}}\) — это значения функции \[f(R)=\frac{9\hbar^2}{16\pi mR^5}-\frac{2\sigma}{R},\] и ниже её минимума равновесия нет. Минимум: \(f'(R)=-\dfrac{45\hbar^2}{16\pi mR^6}+\dfrac{2\sigma}{R^2}=0\), откуда \[R_{\mathrm{th}}=\Bigl(\frac{45\hbar^2}{32\pi m\sigma}\Bigr)^{1/4}\approx1{,}95~\text{нм}.\] В этой точке первое слагаемое равно \(\dfrac{2\sigma}{5R_{\mathrm{th}}}\) (из условия \(\dfrac{45\hbar^2}{16\pi m}=2\sigma R_{\mathrm{th}}^4\) следует \(\dfrac{9\hbar^2}{16\pi m}=\dfrac{2\sigma R_{\mathrm{th}}^4}{5}\)), поэтому \[\boxed{\,P_{\mathrm{th}}=\frac{2\sigma}{5R_{\mathrm{th}}}-\frac{2\sigma}{R_{\mathrm{th}}}=-\frac{8\sigma}{5R_{\mathrm{th}}}=-\frac{8\sigma}{5}\Bigl(\frac{32\pi m\sigma}{45\hbar^2}\Bigr)^{1/4}\,}\approx-3{,}1\cdot10^{5}~\text{Па}.\]

Рис. 3. Баланс давлений: электрон \(P_{\mathrm e}(R)\) (бирюзовая кривая) и внешнее давление \(2\sigma/R+P_{\mathrm{He}}\) при \(P_{\mathrm{He}}=0\) (сплошная чёрная) и при \(P_{\mathrm{He}}=P_{\mathrm{th}}\) (штриховая): равновесие — пересечения; при \(P_{\mathrm{th}}\) кривые касаются.

Проверка. Совпадение с A.d): при \(R=R_{\mathrm{th}}\) порог \(P_{\mathrm{th}}=-8\sigma/(5R_{\mathrm{th}})\) — это ровно граница устойчивости из A.d), как и должно быть: при касании кривых устойчивая и неустойчивая ветви равновесия сливаются. Смысл: отрицательное давление \(-3\) бар (растяжение жидкого гелия) — предел существования электронного пузырька.

B.f) При изменении радиуса пузырька на \(dR\) граница вытесняет объём жидкости \(dV=4\pi R^2\,dR\). Жидкость несжимаема, поэтому на внешней поверхности жидкости объём меняется на то же \(dV\). Газ давит на жидкость изнутри с давлением \(P\) и совершает над ней работу \(P\,dV\); внешнее давление \(P_0\) на внешней поверхности совершает работу \(-P_0\,dV\) (поверхность смещается против силы): \[\boxed{\,dW=(P-P_0)\,dV=(P-P_0)\,4\pi R^2\,dR\,}\]

Рис. 4. Радиальный поток несжимаемой жидкости вокруг растущего пузырька (слева) и скорость жидкости на расстоянии \(r\) от центра (справа): \(\dot r=R^2\dot R/r^2\), на расстоянии \(2R\) она в четыре раза меньше скорости границы.

В пределе \(r_0\to\infty\) из (2) получаем кинетическую энергию \(E_{\mathrm k}=2\pi\rho_0R^3\dot R^2\), откуда \[dE_{\mathrm k}=2\pi\rho_0\,d\bigl(R^3\dot R^2\bigr).\] Работа внешних сил равна изменению кинетической энергии: \(dW=dE_{\mathrm k}\), то есть \(2\pi\rho_0\,d(R^3\dot R^2)=(P-P_0)\,4\pi R^2\,dR\) и после сокращения на \(4\pi\) \[\frac12\rho_0\,d\bigl(R^3\dot R^2\bigr)=(P-P_0)R^2\,dR,\qquad\boxed{\,m=3,\;n=2\,}\] Проверка. Размерность (3): \(\rho_0R^3\dot R^2\) — это (кг/м\(^3\))\(\cdot\)м\(^3\cdot\)(м/с)\(^2\) = Дж; правая часть — (Н/м\(^2\))\(\cdot\)м\(^2\cdot\)м = Дж. Совпадает.

B.g) Пузырёк адиабатичен и квазиравновесен: для идеального газа \(PV^\gamma=\text{const}\), \(TV^{\gamma-1}=\text{const}\), где \(V\propto R^3\). Начальное давление найдём из того, что при \(T_0\) и \(P_0\) равновесный радиус пузырька — \(R_0\), а в начале схлопывания температура снова \(T_0\) при радиусе \(R_{\mathrm i}\): \(P_{\mathrm i}R_{\mathrm i}^3=P_0R_0^3\) (закон Бойля — Мариотта для того же количества газа). Тогда при \(\gamma=5/3\): \[\boxed{\,P(R)=P_{\mathrm i}\Bigl(\frac{R_{\mathrm i}}{R}\Bigr)^{3\gamma}=P_0\Bigl(\frac{R_0}{R_{\mathrm i}}\Bigr)^3\Bigl(\frac{R_{\mathrm i}}{R}\Bigr)^5,\qquad T(R)=T_0\Bigl(\frac{R_{\mathrm i}}{R}\Bigr)^{3(\gamma-1)}=T_0\Bigl(\frac{R_{\mathrm i}}{R}\Bigr)^2\,}\] B.h) Подставим \(P(R)\) в (3) при \(m=3\), \(n=2\), перейдём к \(\beta=R/R_{\mathrm i}\) (\(\dot R=R_{\mathrm i}\dot\beta\)) и проинтегрируем от начального состояния (\(\beta=1\), \(\dot\beta=0\)) до произвольного \(\beta\). Правая часть (3) после замены: \[\int_{R_{\mathrm i}}^{R}(P-P_0)R'^2\,dR'=P_{\mathrm i}R_{\mathrm i}^5\int_{R_{\mathrm i}}^{R}\frac{dR'}{R'^3}-P_0\int_{R_{\mathrm i}}^{R}R'^2dR'=\frac{P_{\mathrm i}R_{\mathrm i}^3}{2}\bigl(1-\beta^{-2}\bigr)-\frac{P_0R_{\mathrm i}^3}{3}\bigl(\beta^3-1\bigr).\] Левая часть — \(\dfrac12\rho_0R^3\dot R^2=\dfrac12\rho_0R_{\mathrm i}^5\beta^3\dot\beta^2\). Делим на \(R_{\mathrm i}^3\beta^3\): \[\frac12\rho_0R_{\mathrm i}^2\dot\beta^{\,2}=\frac{P_{\mathrm i}}{2}\bigl(\beta^{-3}-\beta^{-5}\bigr)+\frac{P_0}{3}\bigl(\beta^{-3}-1\bigr).\] Соберём общий множитель \(\dfrac{P_0}{3\beta^5}\) и воспользуемся тем, что \(\dfrac{3P_{\mathrm i}}{2P_0}=\dfrac{P_{\mathrm i}}{(\gamma-1)P_0}=Q\) (при \(\gamma=5/3\)): \[\frac12\rho_0\dot\beta^{\,2}=\frac{P_0}{3R_{\mathrm i}^2\beta^5}\Bigl[\beta^2(1-\beta^3)-Q\,(1-\beta^2)\Bigr]=-U(\beta).\] Сравнивая с (5), находим \[\boxed{\,\mu=\frac{P_0}{3R_{\mathrm i}^2}\,}\] Проверка. В начале (\(\beta=1\)) скобка равна нулю — \(\dot\beta=0\), как и нужно. Размерность: \(P_0/R_{\mathrm i}^2\) — Н/м\(^4\) = (кг/м\(^3\))/с\(^2\), как у \(\rho_0\dot\beta^{\,2}\). Для малых \(Q\) главный вклад в скорость даёт \(\beta^2(1-\beta^3)\) — «пустой» пузырёк схлопывается свободно (формула Рэлея), и полное время схлопывания \(t\approx0{,}915R_{\mathrm i}\sqrt{\rho_0/P_0}\approx3{,}2\) мкс (рис. 5) — то же получается интегрированием на компьютере.

B.i) Радиус минимален, когда \(\dot\beta=0\), то есть \(U(\beta_{\mathrm m})=0\): \[Q(1-\beta_{\mathrm m}^2)=\beta_{\mathrm m}^2(1-\beta_{\mathrm m}^3)\quad\Longrightarrow\quad Q=\beta_{\mathrm m}^2\,\frac{1-\beta_{\mathrm m}^3}{1-\beta_{\mathrm m}^2}=\beta_{\mathrm m}^2\,\frac{1+\beta_{\mathrm m}+\beta_{\mathrm m}^2}{1+\beta_{\mathrm m}} .\] Если \(Q\ll1\), то \(\beta_{\mathrm m}\ll1\), дробь близка к \(1\), и \(Q\approx\beta_{\mathrm m}^2\): \[\boxed{\,\beta_{\mathrm m}\approx\sqrt Q,\qquad C_{\mathrm m}=1\,}\] Числа. При \(R_{\mathrm i}=7R_0\) имеем \(P_{\mathrm i}=P_0/7^3\) и \[Q=\frac{P_{\mathrm i}}{(\gamma-1)P_0}=\frac{1}{\gamma-1}\Bigl(\frac{R_0}{R_{\mathrm i}}\Bigr)^3=\frac32\cdot\frac1{343}=4{,}37\cdot10^{-3}\ll1 ,\] \[\beta_{\mathrm m}=\sqrt Q=0{,}0661,\qquad R_{\mathrm m}=\beta_{\mathrm m}R_{\mathrm i}=0{,}0661\cdot35{,}0~\text{мкм}\approx2{,}31~\text{мкм}.\] Температура — по B.g) при \(\beta=\beta_{\mathrm m}\): \[T_{\mathrm m}=T_0\,\beta_{\mathrm m}^{-2}=\frac{300}{0{,}0661^2}~\text{К}\approx6{,}86\cdot10^{4}~\text{К}.\] Проверка. Точный корень уравнения \(U=0\) даёт \(\beta_{\mathrm m}=0{,}0660\) — отличие менее \(0{,}3\,\%\). Давление в точке \(\beta_{\mathrm m}\) — \(P_{\mathrm i}\beta_{\mathrm m}^{-5}\approx2{,}3\cdot10^8\) Па: сжатие в \(\beta_{\mathrm m}^{-3}\approx3{,}5\cdot10^3\) раз по объёму. Смысл: температура \(\sim7\cdot10^4\) К — этого достаточно для свечения.

Рис. 5. Радиус пузырька в ходе схлопывания: полное время около \(3{,}2\) мкс, последние \(\sim\!3{,}5\) нс на рисунке не видны.

B.j) Скорость \(u=|\dot\beta|\) максимальна, когда максимально \(-U(\beta)=\tfrac12\rho_0\dot\beta^{\,2}\). Раскроем скобки в (5) (при \(\gamma=5/3\)): \[-U(\beta)=\mu\bigl[(1+Q)\beta^{-3}-1-Q\beta^{-5}\bigr].\] Приравняем производную нулю: \[\frac{d}{d\beta}\bigl(-U\bigr)=\mu\bigl[-3(1+Q)\beta^{-4}+5Q\beta^{-6}\bigr]=0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,\beta_u=\sqrt{\frac{5Q}{3(1+Q)}}\,}\approx0{,}0852 .\] (Максимальная скорость стенки — \(R_{\mathrm i}u(\beta_u)\approx2{,}1\cdot10^2\) м/с.)

Рис. 6. Безразмерная скорость \(u=|\dot\beta|\): максимум при \(\beta_u\), ноль при \(\beta_{\mathrm m}\); отмечена и точка \(\bar\beta\).

Теперь середина между \(\beta_{\mathrm m}\) и \(\beta_u\): \[\bar\beta=\frac{\beta_{\mathrm m}+\beta_u}{2}=\frac{0{,}0661+0{,}0852}{2}=0{,}0757 .\] Скорость в этой точке — из (4) и (5): \[\bar u=\sqrt{\frac{2}{\rho_0}\bigl[-U(\bar\beta)\bigr]}=\sqrt{\frac{2P_0}{3\rho_0R_{\mathrm i}^2}\Bigl[(1+Q)\bar\beta^{-3}-1-Q\bar\beta^{-5}\Bigr]}\approx5{,}5\cdot10^{6}~\text{с}^{-1}\] (численно \(5{,}52\cdot10^6\) с\(^{-1}\)). Время прохождения от \(\beta_u\) до \(\beta_{\mathrm m}\) оценим, считая скорость постоянной и равной \(\bar u\): \[\boxed{\,\Delta t_{\mathrm m}\approx\frac{\beta_u-\beta_{\mathrm m}}{\bar u}\,}=\frac{0{,}0852-0{,}0661}{5{,}52\cdot10^{6}}~\text{с}\approx3{,}5\cdot10^{-9}~\text{с}.\] Проверка. Скорость \(\bar u\) получена и другой записью — через \(Q\) и \(\bar\beta\) — с отличием менее \(0{,}1\,\%\); значение \(\beta_u=0{,}08519\) совпадает с численным максимумом \(u(\beta)\) (рис. 6). Смысл: основной нагрев — последние несколько наносекунд сжатия.

B.k) Мощность, подводимая к пузырьку, — это работа, совершаемая жидкостью над газом, \(-P\,dV/dt\). Объём \(V=\dfrac43\pi R^3\), \(dV/dt=4\pi R^2\dot R\); с \(P=P_{\mathrm i}\beta^{-5}\) и \(R=R_{\mathrm i}\beta\): \[\boxed{\,\dot E=-P\frac{dV}{dt}=-4\pi R_{\mathrm i}^3P_{\mathrm i}\,\frac{\dot\beta}{\beta^3}\,}\] При схлопывании \(\dot\beta<0\), поэтому \(\dot E>0\): \(\dot E=4\pi R_{\mathrm i}^3P_{\mathrm i}\,u/\beta^3\).

Излучаемая мощность чёрного тела с коэффициентом излучения \(a\) и площадью \(4\pi R^2\) при температуре \(T=T_0\beta^{-2}\): \[W_{\mathrm r}=a\sigma_{\mathrm{SB}}T^4\cdot4\pi R^2=4\pi R_{\mathrm i}^2\,a\,\sigma_{\mathrm{SB}}T_0^4\,\beta^{-6}.\] Требуем \(W_{\mathrm r}(\bar\beta)\le0{,}2\,\dot E(\bar\beta)\): \[4\pi R_{\mathrm i}^2a\sigma_{\mathrm{SB}}T_0^4\,\bar\beta^{-6}\le0{,}2\cdot4\pi R_{\mathrm i}^3P_{\mathrm i}\,\frac{\bar u}{\bar\beta^3}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,a\le\frac{P_{\mathrm i}R_{\mathrm i}}{5\sigma_{\mathrm{SB}}T_0^4}\,\bar\beta^3\bar u\,}\] Числа: \(P_{\mathrm i}=P_0/343=294\) Па, \(R_{\mathrm i}=3{,}5\cdot10^{-5}\) м, \(\sigma_{\mathrm{SB}}T_0^4=5{,}67\cdot10^{-8}\cdot300^4=459\) Вт/м\(^2\), \(\bar\beta^3=4{,}33\cdot10^{-4}\), \(\bar u=5{,}52\cdot10^{6}\) с\(^{-1}\): \[a\le\frac{294\cdot3{,}5\cdot10^{-5}}{5\cdot459}\cdot4{,}33\cdot10^{-4}\cdot5{,}52\cdot10^{6}\approx4{,}5\cdot10^{-6}\cdot2{,}39\cdot10^{3}\approx1{,}07\cdot10^{-2}\approx0{,}011 .\]

Рис. 7. Мощность сжатия \(\dot E\) (бирюзовая), её пятая часть (штриховая) и мощность излучения \(W_{\mathrm r}\) при \(a=a_{\max}\) (чёрная): в точке \(\bar\beta\) излучение равно \(0{,}2\,\dot E\). Оси логарифмические.

Проверка. Размерность: \(P_{\mathrm i}R_{\mathrm i}/(\sigma_{\mathrm{SB}}T_0^4)\) — (Н/м\(^2\cdot\)м)/(Вт/м\(^2\)) = с, умножение на \(\bar u\) (с\(^{-1}\)) даёт безразмерное \(a\). При \(a=1\) излучение было бы в \(18{,}6\) раза мощнее подводимой энергии, поэтому предположение об адиабатичности требует очень малого коэффициента излучения: \(a\lesssim1\,\%\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.