Гемодинамика – артериальная система

Скорость течения получается из расхода через сечение сосуда; время движения – делением длины на скорость; формула Пуазейля даёт разность давлений. Скачок давления на стыке труб с разными сечениями – из уравнения Бернулли с учетом сохранения расхода.

Часть 1. Предварительные расчеты.

1.1 Формулы:

1.1.1 Расход жидкости может быть выражен формулой \[q=vS,\qquad (1)\] где \(S=\pi R^2\) – площадь поперечного сечения трубы, \(v\) – средняя по поперечному сечению скорость течения, которая может быть выражена через расход жидкости, как \[v=\frac{q}{S}=\frac{q}{\pi R^2}.\qquad (2)\]

1.1.2 Очевидно, что время движения жидкости по трубе равно \[t=\frac{L}{v}=\frac{\pi R^2L}{q}.\qquad (3)\] Это же выражение может быть представлено, как объем трубы, деленный на расход жидкости \(t=\dfrac{V}{q}\).

1.1.3 Из формулы Пуазейля легко выразить разность давлений через расход жидкости \[\Delta P=\frac{8\eta L}{\pi R^4}\,q.\qquad (4)\]

1.2 Обозначим скорость течения жидкости в первой трубе \(v_1\), во второй – \(v_2\); площади поперечных сечений – \(S_1\), \(S_2\), давления в трубах \(P_1\), \(P_2\). Так как жидкость является идеальной, то давление изменяется скачком только в области стыка двух труб. Рассмотрим порцию жидкости, находящуюся между двумя произвольно выбранными сечениями (одно в широкой части трубы, второе в узкой части). Пусть за малый промежуток времени первое сечение сместилось на расстояние \(\Delta x_1\), тогда второй сечение сместится на расстояние \(\Delta x_2\). Так как жидкость несжимаема, то выполняется соотношение

\[\Delta V=S_1\Delta x_1=S_2\Delta x_2.\qquad (5)\] Эта величина имеет смысл объема, протекшего через поперечное сечение трубы за рассматриваемый промежуток времени. Скорость этой порции жидкости изменилась от \(v_1\) до \(v_2\). Следовательно, возросла и кинетическая энергия этой порции жидкости. Изменение кинетической энергии обусловлено работой внешних сил (т.е. сил давления жидкости на выделенную порцию), поэтому можно записать: \[P_1S_1\Delta x_1-P_2S_2\Delta x_2=\frac{1}{2}\rho S_1\Delta x_1\left(v_2^2-v_1^2\right).\qquad (6)\] Учитывая соотношение (5), получим уравнение (которое фактически является уравнением Бернулли): \[P_1-P_2=\frac{1}{2}\rho\left(v_2^2-v_1^2\right).\qquad (7)\] Скорости течения жидкости выразим через расход жидкости \(v=\dfrac{q}{S}\) и подставим в уравнение (7): \[\Delta P=P_1-P_2=\frac{1}{2}\rho q^2\left(\frac{1}{S_2^2}-\frac{1}{S_1^2}\right)=\frac{1}{2\pi^2}\rho q^2\left(\frac{1}{R_2^4}-\frac{1}{R_1^4}\right).\qquad (8)\]

1.3 При течении вязкой жидкости давление изменяется и в пределах трубы постоянного течения. Обозначим давления в различных сечениях, как показано на рисунке.

Запишем уравнения для изменения давлений на всех участках составной трубы (используя формулы (4) и (8)): \[P_1-P_1'=\frac{8\eta l_1}{\pi R_1^4}\,q,\qquad P_1'-P_2'=\frac{1}{2\pi^2}\rho q^2\left(\frac{1}{R_2^4}-\frac{1}{R_1^4}\right),\qquad P_2'-P_2=\frac{8\eta l_2}{\pi R_2^4}\,q.\qquad (9)\] И просуммируем эти выражения: \[P_1-P_2=\frac{1}{2\pi^2}\rho q^2\left(\frac{1}{R_2^4}-\frac{1}{R_1^4}\right)+\frac{8\eta l_1}{\pi R_1^4}q+\frac{8\eta l_2}{\pi R_2^4}q.\qquad (10)\] В результате чего получаем квадратное уравнение, правда с громоздкими коэффициентами: \[\frac{1}{2\pi^2}\rho\left(\frac{1}{R_2^4}-\frac{1}{R_1^4}\right)q^2+\frac{8\eta}{\pi}\left(\frac{l_1}{R_1^4}+\frac{l_2}{R_2^4}\right)q-\Delta P=0.\qquad (11)\] При решении этого уравнения следует выбрать положительный корень: \[q=\frac{\sqrt{b^2+a\,\Delta P}-b}{a},\qquad (12)\] где \[a=\frac{1}{2\pi^2}\rho\left(\frac{1}{R_2^4}-\frac{1}{R_1^4}\right);\qquad b=\frac{4\eta}{\pi}\left(\frac{l_1}{R_1^4}+\frac{l_2}{R_2^4}\right).\]

1.4 При решении этой задачи можно повторить все рассуждения п.1.2, а в окончательной формуле (8) под \(S_2\) следует понимать суммарную площадь всех присоединенных труб, поэтому \[\delta P=P_1-P_2=\frac{1}{2}\rho q^2\left(\frac{1}{S_2^2}-\frac{1}{S_1^2}\right)=\frac{\rho q^2}{2\pi^2}\left(\frac{1}{n^2R_2^4}-\frac{1}{R_1^4}\right).\qquad (13)\] Заметим, что эта разность давлений может быть отрицательной.

Часть 2. Характеристики кровотока в артериальной системе человека.

2.1.1 – 2.1.5 Для расчета требуемых характеристик следует воспользоваться уже полученными формулами, которые следует слегка модернизировать с учетом числа сосудов в каждой группе. Приведем эти формулы, необходимые для расчетов: Расход крови через один сосуд в группе: \[q_i=\frac{q_0}{n_i},\qquad (14)\] где \(q_0=6{,}0\ \dfrac{\text{л}}{\text{мин}}=6{,}0\cdot\dfrac{10^{-3}\ \text{м}^3}{60\ \text{с}}=1{,}0\cdot10^{-4}\ \dfrac{\text{м}^3}{\text{с}}\) – суммарный расход крови.

Площадь поперечного сечения сосуда в группе: \[S_i=\frac{\pi d_i^2}{4}.\qquad (15)\] Средняя скорость течения крови в сосуде: \[v_i=\frac{q_i}{S_i}.\qquad (16)\] Время движения через сосуд: \[t_i=\frac{l_i}{v_i}.\qquad (17)\] Разность давлений на концах сосуда: \[\Delta P_i=\frac{8\eta l_i}{\pi R_i^4}q_i=\frac{8\pi\eta l_i}{\left(\pi R_i^2\right)^2}q_i=8\pi\eta\frac{l_i}{S_i^2}q_i.\qquad (18)\] Скачок давлений на стыке сосудов: \[\delta P_i=\frac{1}{2\pi^2}\rho q_i^2\left(\frac{1}{\left(\dfrac{n_{i+1}}{n_i}\right)^2R_{i+2}^4}-\frac{1}{R_i^4}\right)=\frac{\rho q_0^2}{2}\left(\frac{1}{\left(n_{i+1}S_{i+1}\right)^2}-\frac{1}{\left(n_iS_i\right)^2}\right).\qquad (19)\] Интересно отметить, что при замкнутом круге обращения (когда суммарные площади сечений в начале и конце цикла равны) сумма этих скачков давлений равна нулю. Суммарные характеристики рассчитываются очевидным способом, как суммы соответствующих характеристик в каждой группе.

Результаты расчетов по приведенным формулам приведены в Таблице 2.

Общее время движения крови по артериальной системе равно 2,0 с. Разность давлений на входе и выходе из артериальной системы (сумма двух последних столбцов) равна 13 кПа, что примерно равно 100 мм рт. ст. Следует отметить, что скачки давлений в местах разветвления сосудов, во-первых, отрицательны (т.к. общая площадь поперечных сечений сосудов в каждой группе увеличивается); во-вторых, не слишком значительны.

2.2 Разумно считать, что разность давлений в венозной системе также примерно равна 100 мм рт. ст. Поэтому суммарное давление, которое должно создавать сердце, примерно в два раза превышает реальное сердечное давление. Основная причина такого существенного расхождения заключается в том, что сосуды функционируют гораздо сложнее, чем жесткие трубки. Они проходят через различные мышцы тела, которые могут способствовать лучшему протеканию крови, т.е. работают как своеобразные «микронасосы».