Струя из бутылки

Рекомендации для организаторов. Бутылку удобно использовать пластиковую (с вертикальными стенками), объёмом 1,5–2 л, проделав в ней на высоте около 5 см от дна отверстие диаметром 2–3 мм. Отверстие не должно иметь закраин.

Из миллиметровой бумаги изготавливаем клин с малым углом \(\alpha\) раствора. Измеряем глубину \(L\), на которую этот клин можно вставить в отверстие. Диаметр и площадь отверстия \(S_0\) находим по формулам: \[D \simeq \alpha L,\quad S_0 = \dfrac{\pi}{4}D^2.\] Если уровень воды над отверстием в момент времени \(t\) равен \(h\), то уравнение неразрывности имеет вид \[S_1v_1 = S_{\text{с}}v_2, \tag{1}\] где \(S_1\) и \(v_1\) — площадь сечения бутылки и скорость опускания жидкости соответственно, а \(S_{\text{с}}\) и \(v_2\) — площадь сечения струи и скорость воды в ней.

Запишем формулу Торричелли \[\rho gh = \dfrac{\rho v_2^2}{2}. \tag{2}\] Пусть за промежуток времени \(dt\) уровень \(h\) изменится на \(dh\), тогда \[v_1 = -dh/dt. \tag{3}\] Подставляя \(v_1\) и \(v_2\) из (2) и (3) в (1), имеем \[-S_1\dfrac{dh}{dt} = S_{\text{с}}\sqrt{2gh},\] или \[-\dfrac{dh}{\sqrt{h}} = -2d(\sqrt{h}) = \dfrac{S_{\text{с}}}{S_1}\sqrt{2g}\,dt. \tag{4}\] Проинтегрируем (4): \[\sqrt{h} = -\dfrac{S_{\text{с}}}{S_1}\sqrt{\dfrac{g}{2}}\,t + \text{const}. \tag{5}\] Построим график зависимости \(\sqrt{h}\) от \(t\) и по тангенсу угла наклона прямой определим \(S_{\text{с}}\). График, получившийся у автора, представлен на рисунке. Отношение \(S_0/S_{\text{с}}\) равно примерно 2,0.

Расхождение эксперимента с теорией в 2 раза объясняется тем, что частицы жидкости в бутылке вблизи краёв отверстия имеют скорости в направлениях, перпендикулярных направлению струи за отверстием. По существу, \(S_{\text{с}}\) — это сечение сформировавшейся струи, т. е. струи на таком расстоянии от отверстия, когда горизонтальные скорости всех частиц струи примерно одинаковы.