Столкновения подвешенных шаров

Рекомендации для организаторов. Шары следует взять стальные или из твёрдой пластмассы, диаметром \(20 \pm 5\) мм. Длина подвеса \(45 \pm 15\) см. Шары должны быть подвешены на одинаковой высоте так, что в положении равновесия их поверхности соприкасаются, а плоскости подвесов вертикальны.

Начальная энергия системы есть потенциальная энергия одного шара, отведённого на угол \(\alpha\). Энергию «слипшихся» шаров удобно измерять по амплитуде \(A\) их отклонения. Для шара, отклонённого на малый угол \(\alpha\), высота подъёма, а значит и потенциальная энергия, пропорциональна \(A_0^2\). Для конечного состояния системы с учётом малости диаметра шара по сравнению с длиной подвеса потенциальная энергия системы пропорциональна \(2A_k^2\), потому что теперь потенциальная энергия определяется массой двух отклоняющихся шаров.

Теоретически рассмотрим движение системы из двух шаров. При малых отклонениях период колебаний не зависит от амплитуды. Поэтому шарики будут сталкиваться в нижней точке траектории. Применим законы сохранения энергии и импульса к системе шаров для \(i\)-го столкновения: \[mv_{i1} + mv_{i2} = mv_{i1}' + mv_{i2}',\] \[\dfrac{mv_{i1}^2}{2} + \dfrac{mv_{i2}^2}{2} = \dfrac{mv_{i1}'^2}{2} + \dfrac{mv_{i2}'^2}{2} + E_i,\] где \(E_i\) — часть механической энергии, перешедшая в другие формы. Разрешив эти уравнения относительно скоростей шаров после столкновения, получим: \[v_{i1}' = \dfrac{1}{2}\left(v_{i2} + v_{i1} + \sqrt{(v_{i2} - v_{i1})^2 - 4E_i/m}\right),\] \[v_{i2}' = \dfrac{1}{2}\left(v_{i2} + v_{i1} - \sqrt{(v_{i2} - v_{i1})^2 - 4E_i/m}\right).\] Разность этих скоростей \[v_{i1}' - v_{i2}' = \sqrt{(v_{i1} - v_{i2})^2 - 4E_i/m}.\] Скорости шаров перед \(i\)-м столкновением равны скоростям после \((i-1)\)-го столкновения. Поэтому подкоренное выражение может быть приведено к виду \(v_1^2 - 4(E_1 + \ldots + E_i)/m\), где \(v_1\) — скорость налетающего шарика перед первым столкновением (второй шарик первоначально покоился). Пусть после \(n\)-го столкновения шарики начинают двигаться практически вместе, т. е. \(v_{n1}' = v_{n2}'\). Это произойдёт, когда суммарная потеря механической энергии будет \(E_1 + E_2 + \ldots + E_n = mv_1^2/4 = mgH/2\). Таким образом, амплитуда отклонения системы в установившемся состоянии должна быть в два раза меньше, чем первоначальное отклонение первого шара.

Возможные расхождения с экспериментом могут объясняться потерями энергии в системе за счёт трения в подвесе и сопротивления воздуха. При уменьшении упругости сталкивающихся поверхностей шаров характерное число столкновений \(n\) будет уменьшаться. Это может привести к лучшему совпадению экспериментальных результатов с теоретическим расчётом, если из-за сопротивления движению потери энергии были велики в первом случае.