Трение при ударе

Подсказка

За время удара импульс силы нормальной реакции определяется вертикальными скоростями до и после удара; импульс силы трения меняет горизонтальную скорость и угловую скорость шара. Пока шар проскальзывает, \(f = \mu_k N\); если проскальзывание прекратилось, точка касания покоится: \(\omega_2 R = v_{2x}\).

Решение

a) Вычисление скорости непосредственно перед ударом.

Приравнивая потенциальную энергию тяготения кинетической энергии в момент непосредственно перед ударом, получаем скорость перед ударом \(v_0\): \[mgh = \frac{mv_0^2}{2}, \qquad (1)\] откуда находим \(v_0\): \[V_0 = \sqrt{2gh}. \qquad (2)\]

b) Вычисление вертикальной составляющей скорости сразу после удара.

Пусть \(v_{2x}\) и \(v_{2y}\) — соответственно горизонтальная и вертикальная составляющие скорости центра масс сразу после удара. Высота подъёма по вертикали будет равна \(\alpha h\), и тогда \[v_{2y}^2 = 2g\alpha h, \qquad (3)\] откуда, через \(\alpha\) (или коэффициент восстановления \(c = \sqrt\alpha\)): \[v_{2y} = \sqrt{2g\alpha h} = cv_0. \qquad (4)\]

c) Общие уравнения для изменения импульса и момента импульса за время удара.

На рис. 1.2 показаны силы, действующие на шар во время удара.

На рисунке: Figure 1.2 shows the free body of the ball during impact — на рис. 1.2 показаны силы, действующие на шар во время удара.

Учитывая, что импульс сил равен изменению импульса, а импульс моментов сил равен изменению момента импульса, имеем: \[I_y = \int_{t_1}^{t_2} N(t)\,dt = mv_0 + mv_{2y} = m(1+c)\sqrt{2gh}, \qquad (5)\] \[I_x = \int_{t_1}^{t_2} f_r(t)\,dt = mv_{2x}, \qquad (6)\] \[I_\theta = \int_{t_1}^{t_2} Rf_r(t)\,dt = R\int_{t_1}^{t_2} f_r(t)\,dt = I(\omega_0 - \omega_2), \qquad (7)\] где \(I_x\), \(I_y\) и \(I_\theta\) — импульсы и угловой импульс действующих сил, а \(\omega_2\) — угловая скорость после удара. Моменты \(t_1\) и \(t_2\) соответствуют началу и концу удара.

Варианты

В начале удара шар всегда будет скользить, поскольку у него есть некоторая угловая скорость \(\omega_0\). Тогда возможны два варианта:

I. Весь удар происходит так, что трение не успевает раскрутить шар настолько, чтобы точка контакта остановилась и шар перешёл к чистому качению.

II. В некоторый момент \(t \in (t_1, t_2)\) точка, касающаяся пола, имеет скорость, равную нулю, и с этого момента трение равно нулю. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай I

В этом варианте в течение всего удара шар скользит, и сила трения связана с силой нормальной реакции соотношением \[f_r = \mu_k N(t). \qquad (8)\] Подставляя (8) в соотношения (6) и (7) и используя (5), находим: \[I_x = \mu_k\int_{t_1}^{t_2} N(t)\,dt = \mu_k I_y = \mu_k(1+c)\sqrt{2gh} = mv_{2x} \qquad (9)\] и \[I_\theta = R\mu_k\int_{t_1}^{t_2} N(t)\,dt = R\mu_k m(1+c)\sqrt{2gh} = I(\mu_0 - \mu_2), \qquad (10)\]

откуда получаем горизонтальную составляющую скорости \(v_{2x}\) и конечную угловую скорость: \[V_{2x} = \mu_k(1+c)\sqrt{2gh}, \qquad (11)\] \[\omega_2 = \omega_0 - \frac{\mu_k mR(1+c)}{I}\sqrt{2gh}. \qquad (12)\] Тем самым все основные величины выражены через данные. Область применимости рассматриваемого решения можно получить из (11) и (12). Это решение справедливо, если в конце удара точка контакта имеет скорость в направлении отрицательной оси \(x\). То есть если: \[\omega_2 R > v_{2x},\] \[\omega_0 - \frac{\mu_k mR(1+c)}{I}\sqrt{2gh} > \frac{\mu_k(1+c)}{R}\sqrt{2gh},\] \[\omega_0 > \frac{\mu_k\sqrt{2gh}}{R}\,(1+c)\left(\frac{mR^2}{I} + 1\right), \qquad (13)\] так что при угловых скоростях ниже этого значения решение несправедливо.

Случай II

В этом случае качение устанавливается в момент \(t\) между начальным моментом удара \(t_1\) и конечным \(t_2\). Тогда между горизонтальной составляющей скорости \(v_{2x}\) и конечной угловой скоростью должно выполняться соотношение \[\omega_2 R = v_{2x}. \qquad (14)\] Подставляя (14) и (6) в (7), получаем: \[mRv_{2x} = I\left(\omega_0 - \frac{v_{2x}}{R}\right), \qquad (15)\] откуда находим конечные значения: \[V_{2x} = \frac{I\omega_0}{mR + \dfrac{I}{R}} = \frac{I\omega_0 R}{mR^2 + I} = \frac27\,\omega_0 R \qquad (16)\] и \[\omega_2 = \frac{I\omega_0}{mR^2 + I} = \frac27\,\omega_0. \qquad (17)\]

Вычисление тангенсов углов

Случай I

Для \(\operatorname{tg}\theta\) из (4) и (11) имеем: \[\operatorname{tg}\theta = \frac{v_{2x}}{v_{2y}} = \frac{\mu_k(1+c)\sqrt{2gh}}{c\sqrt{2gh}} = \mu_k\frac{(1+c)}{c},\] \[\operatorname{tg}\theta = \mu_k\frac{(1+c)}{c}, \qquad (18)\] т. е. угол не зависит от \(\omega_0\).

Случай II

Здесь (4) и (16) дают для \(\operatorname{tg}\theta\): \[\operatorname{tg}\theta = \frac{v_{2x}}{v_{2y}} = \frac{I\omega_0 R}{I + mR^2}\,\frac{1}{c\sqrt{2gh}} = \frac{I\omega_0 R}{(I + mR^2)\,c\sqrt{2gh}},\] \[\operatorname{tg}\theta = \frac{2\omega_0 R}{7c\sqrt{2gh}}, \qquad (19)\] тогда (18) и (19) дают решение (рис. 1.3).

На рисунке: Figure — рисунок.

Мы видим, что \(\theta\) не зависит от \(\omega_0\), если \(\omega_0 > \omega_{0\,min}\), где \(\omega_{0\,min}\) равна \[\omega_{0\,min} = \frac{\mu_k(1+c)\sqrt{2gh}\left(1 + \dfrac{mR^2}{I}\right)}{R},\] \[\omega_{0\,min} = \frac{7\mu_k(1+c)\sqrt{2gh}}{2R}. \qquad (20)\]

Вычисление расстояния до второй точки удара

Случай I

Время подъёма и падения шара: \[t_v = 2\,\frac{v_{2y}}{g} = \frac{2c\sqrt{2gh}}{g} = 2c\sqrt{\frac{2h}{g}}. \qquad (21)\] Искомое расстояние тогда равно \[d_I = v_{2x}t_v = \mu_k(1+c)\sqrt{2gh}\;2c\sqrt{\frac{2h}{g}},\] \[d_I = 4\mu_k(1+c)ch, \qquad (22)\] что не зависит от \(\omega_0\).

Случай II

В этом случае время подъёма и падения шара будет тем же, что и в (21). Поэтому искомое расстояние можно вычислить, умножив \(t_v\) на скорость \(v_{2x}\): \[d_{II} = v_{2x}t_v = \frac{I\omega_0}{mR^2 + I}\,2c\sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{2\omega_0 Rc}{1 + \dfrac52}\sqrt{\frac{2h}{g}},\] \[d_{II} = \frac47\,c\sqrt{\frac{2h}{g}}\,R\omega_0.\]

Таким образом, расстояние до второй точки удара растёт линейно с \(\omega_0\).