Вращающийся обруч

Начальная угловая скорость вращения обруча \(\omega_0 = 2\pi n\). Из условия задачи следует, что \(\omega_0R \gg v_0\). Сила трения, действующая на любой малый элемент обруча, направлена против скорости этого элемента относительно поверхности. Для любой пары элементов обруча, симметричных относительно центра обруча, векторная сумма сил трения приблизительно равна нулю, поскольку выполняется записанное выше неравенство. Поэтому центр вращающегося обруча будет двигаться, почти не замедляясь по сравнению со случаем поступательного движения без вращения. Для оценки можно считать, что ускорение центра обруча \[a_c = \mu g\,\dfrac{v_0}{\omega_0R} \approx 1{,}6\cdot 10^{-4}\text{ м/с}^2,\] т. е. очень мало. Тогда \[t_1 \approx \dfrac{s_1}{v_0} = 1\text{ с}.\] Почти равномерное движение центра обруча будет продолжаться приблизительно до тех пор, пока не прекратится вращение обруча. Оценим время \(T\) до прекращения вращения. Для малого элемента обруча массой \(\Delta m\) работа сил трения за время \(\Delta t\) при вращении с угловой скоростью \(\omega\) равна \[\Delta A = -\mu\,\Delta m\,g(\omega R\,\Delta t)\qquad(1)\] Эта работа равна изменению кинетической энергии: \[\Delta A = \Delta\dfrac{\Delta m(\omega R)^2}{2} = \Delta m\,\omega R^2\,\Delta\omega\qquad(2)\] Из (1) и (2) находим \[\Delta t = -\dfrac{R}{\mu g}\,\Delta\omega,\] \[T = \dfrac{\omega_0R}{\mu g} = 640\text{ с}.\] За это время обруч удалится (оценочно) на расстояние \[s = v_0T - \dfrac{a_cT^2}{2} = 64\text{ м} - 7\text{ м} = 57\text{ м}.\] Более точные оценки дают \(s \approx 40\) м.

Получаем ответ: \(t_1 = 1\) с, \(s \approx 57\) м (точнее \(s \approx 40\) м).