Нагревание газа под ртутью

Пусть \(p_{\text{а}}\) — атмосферное давление, \(S\) — площадь поршня, \(H\) и \(2H\) — начальные высоты соответственно столбов ртути и газа, \(x\) — высота газа в новом равновесном положении поднявшегося поршня. Найдем выражение для подведенного количества теплоты \(Q\) в зависимости от \(x\).

Давление в газе складывается из атмосферного и давления столба ртути высотой \(3H - x\): \[p_x = \dfrac{4H - x}{H}\,p_{\text{а}}.\qquad\text{(1)}\] Температуру \(T_x\) газа для того момента, когда поршень находится на высоте \(x\), найдем из уравнения Менделеева–Клапейрона: \[\dfrac{p_xSx}{T_x} = \dfrac{2p_{\text{а}}S\cdot 2H}{T_1}.\] Отсюда с учетом выражения (1) имеем \[T_x = \dfrac{(4H - x)x}{4H^2}\,T_1.\] Изменение внутренней энергии газа, произошедшее при подъеме поршня до высоты \(x\), равно \[\Delta U = \nu C_V(T_x - T_1) = -\left(\dfrac{x - 2H}{2H}\right)^2\nu C_VT_1 = -\dfrac{3(x - 2H)^2}{8H^2}\,\nu RT_1.\qquad\text{(2)}\] Здесь \(C_V = 3R/2\).

Работа газа при линейном (по \(x\)) изменении давления от \(2p_{\text{а}}\) до \(p_x\) равна \[A = \dfrac{2p_{\text{а}} + p_x}{2}(xS - 2HS) = \dfrac{(6H - x)(x - 2H)}{2H}\,p_{\text{а}}S.\] Так как в начальном положении \[2p_{\text{а}}\cdot 2HS = \nu RT_1,\] то \[A = \dfrac{(6H - x)(x - 2H)}{8H^2}\,\nu RT_1.\qquad\text{(3)}\] По закону сохранения энергии \[Q = \Delta U + A.\] С учетом выражений (2) и (3) имеем \[Q = (-x^2 + 5Hx - 6H^2)\dfrac{\nu RT_1}{2H^2} = (x - 2H)(3H - x)\dfrac{\nu RT_1}{2H^2}.\] Формальная подстановка \(x = 3H\) дает неверный ответ: \(Q = 0\).

Рассмотрим график зависимости \(Q(x)\) (рис. 169).

Для достижения равновесного положения системы при \(x = 2{,}5H\) надо подать максимальное количество теплоты \(Q_0 = \dfrac{\nu RT_1}{8} \approx 312\) Дж. Для достижения равновесных положений при \(x > 2{,}5H\) необходимо \(Q < Q_0\). Это значит, что после того как газу сообщат количество теплоты \(Q_0\) и поршень достигнет высоты \(x = 2{,}5H\), газ начнет самопроизвольно расширяться и вытеснит всю ртуть.

Итак, \(Q_{\min} = \dfrac{\nu RT_1}{8} \approx 312\) Дж.