Три шарика

Скорость максимальна, когда электрическая потенциальная энергия минимальна (нити образуют прямой угол), а для ускорений заметьте, что центр масс покоится и найдите мгновенный центр вращения нити \(AB\).

а) крайние шарики \(v=q\,\dfrac{\sqrt3-1}{2}\sqrt{\dfrac{k}{3mL}}\), средний — вдвое быстрее;  б) ускорения всех шариков равны \(a=\dfrac{kq^2}{\sqrt3\,mL^2}\).

(а) Скорость максимальна, когда электрическая потенциальная энергия минимальна, то есть когда между нитями прямой угол. Меняется только расстояние между двумя крайними шариками. Сначала оно равно \(L\), а потом \(L/\cos60^\circ=2L/\sqrt3\). Из-за сохранения импульса в этот момент крайние шарики движутся вдвое медленнее, чем средний. Пусть скорость крайних шариков \(v\). Из закона сохранения энергии \[3mv^2=kq^2\left(\frac1L-\frac{\sqrt3}{2L}\right)\ \Rightarrow\ v=q\sqrt{\frac{k}{6mL}\left(2-\sqrt3\right)}=q\,\frac{\sqrt3-1}{2}\sqrt{\frac{k}{3mL}}.\] (б) На рисунке заряд \(A\) в силу симметрии движется вертикально, поэтому мгновенный центр вращения нити \(AB\) должен лежать на горизонтальной прямой \(OA\). Центр масс \(M\) остаётся на месте, поэтому точка \(D\) нити, делящая отрезок \(AB\) в отношении \(2:1\), движется горизонтально, поэтому прямая, соединяющая точку \(D\) и мгновенный центр вращения \(O\), должна быть вертикальной. Теперь становится очевидным, что \(O\) — центр равностороннего треугольника \(ABE\), поэтому отрезок \(OB\) составляет с вертикалью угол \(30^\circ\), а значит, точка \(B\) начнёт двигаться под углом \(30^\circ\) к горизонту, и в этом же направлении должно быть и ускорение заряда \(B\). Проецируя второй закон Ньютона для заряда \(B\) на направление, перпендикулярное отрезку \(AB\), получаем \[ma\cos30^\circ=\cos60^\circ\,\frac{kq^2}{L^2},\] откуда \[a=\tan30^\circ\,\frac{kq^2}{mL^2}=\frac{kq^2}{mL^2\sqrt3}.\] Из-за сохранения импульса ускорение заряда \(A\) равно \(2a\sin30^\circ=a\), то есть такое же, как у остальных зарядов.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.